Quadrat einer komplexen Zahl berechnen
(3 + 4i)² ergibt −7 + 24i: Geben Sie Real- und Imaginärteil ein und erhalten Sie das Quadrat als a + bi, mit Realteil a² − b² und Imaginärteil 2ab. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Realteil
- 3
- Imaginärteil
- 4
- Realteil
- -7
- Imaginärteil
- 24
Dieser Rechner multipliziert eine komplexe Zahl mit sich selbst und gibt ihr Quadrat in kartesischer Form zurück. Geben Sie den Real- und Imaginärteil von a + bi ein; anschließend liefert die binomische Formel beide Bestandteile des Ergebnisses. Dieselbe deterministische Berechnung verarbeitet positive und negative Zahlen, Dezimalwerte sowie rein reelle und rein imaginäre Eingaben. Das Ergebnis eignet sich für Algebraaufgaben, technische Formeln, Softwareabläufe oder zur schnellen Kontrolle einer von Hand ausgeführten komplexen Rechnung.
Geben Sie Real- und Imaginärteil ein
Schreiben Sie die komplexe Zahl zunächst in kartesischer Form a + bi. Tragen Sie a in das Feld für den Realteil und b in das Feld für den Imaginärteil ein. Für 3 + 4i verwenden Sie beispielsweise 3 und 4, für 3 - 4i dagegen 3 und -4.
Beide Felder sind auch dann erforderlich, wenn ein Bestandteil null ist: Eine eingegebene Null bezeichnet einen bekannten Wert, ein ausgelassenes Feld hingegen eine unvollständige Eingabe. Verwenden Sie reelle Zahlen und hängen Sie an den Imaginärteil kein i an. Ganze Zahlen, Dezimalwerte, negative Werte und null sind zulässig, sofern sie endlich sind.
Text, Unendlich und fehlende Bestandteile führen zu einem Eingabefehler und werden nicht stillschweigend umgewandelt. Für die rein reelle Zahl 7 geben Sie 7 und 0 ein; für -5i verwenden Sie 0 und -5. Eine vorherige Umrechnung in Polarform oder die Berechnung von Winkel und Betrag ist nicht nötig.
Wenden Sie die binomische Formel an
Die Rechnung folgt unmittelbar aus der Multiplikation der Zahl mit sich selbst: (a + bi)(a + bi). Beim Ausmultiplizieren entstehen a zum Quadrat + 2abi + b zum Quadrat mal i zum Quadrat. Da i zum Quadrat gleich -1 ist, wechselt der letzte Term sein Vorzeichen.
Zusammengefasst ergibt sich (a zum Quadrat - b zum Quadrat) + (2ab)i. Der Rechner liefert daher a zum Quadrat minus b zum Quadrat als Realteil und zweimal a mal b als Imaginärteil. Bei 3 + 4i beträgt der Realteil 9 - 16, also -7, und der Imaginärteil 2 mal 3 mal 4, also 24.
Das kartesische Ergebnis lautet -7 + 24i. Die Vorzeichen sind in beiden Teilen wichtig: Ein negativer Imaginärteil wird beim Quadrieren für die reelle Rechnung positiv, macht 2ab bei positivem a jedoch negativ. Der Algorithmus setzt diese Identität direkt mit einer festen Anzahl von Rechenoperationen um und ist weder von Zufall noch von Netzwerk oder Uhrzeit abhängig.
Lesen, prüfen und verwenden Sie das Ergebnis
Die Antwort enthält getrennte Felder für Real- und Imaginärteil und stellt x + yi dar, ohne dass Sie eine formatierte Zeichenfolge zerlegen müssen. Prüfen Sie das Ergebnis, indem Sie x mit a zum Quadrat minus b zum Quadrat und y mit 2ab vergleichen. Auch die Beträge bieten eine Kontrolle: Der Betrag einer quadrierten komplexen Zahl entspricht dem Quadrat des ursprünglichen Betrags.
Bei Dezimalwerten können wegen der endlichen binären Gleitkommapräzision von JavaScript geringe Abweichungen in der letzten Stelle auftreten. Bewahren Sie die ausgegebene Genauigkeit in Zwischenschritten und runden Sie erst bei der Darstellung eines Messwerts.
Anwendungsfälle
Aufgaben zur komplexen Algebra prüfen
Kontrollieren Sie die Entwicklung von (a + bi) zum Quadrat und vergleichen Sie beide Bestandteile mit Ihrer Rechnung.
Technische Berechnungen vorbereiten
Quadrieren Sie komplexe Größen aus Schaltungen, Signalen, Wellen oder Regelungen ohne Umrechnung in Polarform.
Häufige Fragen
Mit welcher Formel wird eine komplexe Zahl quadriert?
Für z = a + bi gilt: z zum Quadrat = (a zum Quadrat - b zum Quadrat) + (2ab)i.
Warum wird b zum Quadrat von a zum Quadrat abgezogen?
Der ausmultiplizierte Term b zum Quadrat mal i zum Quadrat wird negativ, weil i zum Quadrat gleich -1 ist.
Kann ich eine rein imaginäre Zahl quadrieren?
Ja. Geben Sie für den Realteil null ein. Beispielsweise ergibt 0 + 5i zum Quadrat den Wert -25 + 0i.
Berechnet dieses Werkzeug komplexe Quadratwurzeln?
Nein. Es quadriert eine angegebene komplexe Zahl und liefert ein einzelnes Ergebnis. Das Ziehen der Wurzel ist die Umkehroperation und ergibt normalerweise zwei Werte.
Was passiert mit den Vorzeichen, wenn b negativ ist?
b² bleibt im Realteil positiv, aber 2ab wird negativ, wenn a positiv ist. So ergibt (3 − 4i)² den Wert −7 − 24i, während (3 + 4i)² den Wert −7 + 24i liefert.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imaginary":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imaginary": 4
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imaginary": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imaginary":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imaginary":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"real": 3,
"imaginary": 4
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Geben Sie Real- und Imaginärteil ein
So erkennen API-Clients fehlerhafte Daten frühzeitig und erhalten kein scheinbar richtiges Ergebnis aus einer unbeabsichtigten Typumwandlung.
Lesen, prüfen und verwenden Sie das Ergebnis
Sie können das Quadrat in eine weitere Gleichung übernehmen, als JSON speichern oder mit der Vorzeichenschreibweise Ihrer Anwendung anzeigen. Eingaben, deren quadrierte Bestandteile den endlichen Zahlenbereich überschreiten, werden abgewiesen, statt Unendlich in ein unbrauchbares JSON zu schreiben. Dieses Werkzeug berechnet das Quadrat und keine Quadratwurzeln; jede Eingabe hat genau ein Quadrat, während die Wurzelsuche meist zwei Werte liefert. Automatisierte API-Anfragen kosten jeweils $0.002; die Tier-A-Berechnung kann außerdem im Browser laufen.
Integrationsbeispiele
Deterministische Mathematikabläufe erstellen
Erzeugen Sie getrennte Zahlenwerte, die Software unmittelbar in JSON-basierten Berechnungen verwenden kann.
Technische Fragen
Was kostet eine Berechnung über die API?
Jede API-Anfrage kostet $0.002. Die Tier-A-Berechnung ist außerdem für die kostenlose Ausführung im Browser vorgesehen.