Quadrado de número complexo
(3 + 4i)² é −7 + 24i: informe as partes real e imaginária e obtenha o quadrado na forma a + bi, com parte real a² − b² e parte imaginária 2ab. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Parte real
- 3
- Parte imaginária
- 4
- Parte real
- -7
- Parte imaginária
- 24
Esta calculadora do quadrado de número complexo multiplica um número complexo por ele mesmo e retorna a resposta na forma retangular. Informe as partes real e imaginária de a + bi; a calculadora aplica a identidade do quadrado de um binômio para produzir as duas partes do resultado. Ela aceita valores positivos, negativos, decimais, puramente reais e puramente imaginários com o mesmo cálculo determinístico. A resposta pode ser usada em exercícios de álgebra, fórmulas de engenharia, fluxos de software ou na conferência rápida de contas complexas feitas à mão.
Informe as partes real e imaginária
Comece escrevendo o número complexo na forma retangular a + bi. Coloque a no campo real e b no campo imaginário. Por exemplo, informe 3 e 4 para 3 + 4i, ou 3 e -4 para 3 - 4i.
Os dois campos são obrigatórios mesmo quando uma parte vale zero, pois zero registra explicitamente o valor, enquanto um campo ausente torna a entrada incompleta. Use números reais sem acrescentar i à parte imaginária. Inteiros, decimais, valores negativos e zero são aceitos, desde que sejam finitos.
Texto, infinito e componentes ausentes geram erro de entrada, sem conversão silenciosa. Para um número puramente real como 7, informe real 7 e imaginário 0. Para -5i, informe real 0 e imaginário -5.
Você não precisa converter para a forma polar nem calcular ângulo ou módulo antes de usar a ferramenta.
Aplique a identidade do quadrado do binômio
O cálculo vem diretamente da multiplicação do número por ele mesmo: (a + bi)(a + bi). Ao expandir o quadrado, surgem a ao quadrado + 2abi + b ao quadrado vezes i ao quadrado. Como i ao quadrado é igual a -1, o último termo troca de sinal.
Reunindo os termos, obtém-se (a ao quadrado - b ao quadrado) + (2ab)i. Assim, a calculadora retorna a ao quadrado menos b ao quadrado como parte real e duas vezes a vezes b como parte imaginária. Para 3 + 4i, a parte real é 9 - 16, ou -7, e a parte imaginária é 2 vezes 3 vezes 4, ou 24.
O resultado final é -7 + 24i. Os sinais são importantes: uma entrada imaginária negativa fica positiva quando elevada ao quadrado no cálculo real, mas torna 2ab negativo se a entrada real for positiva. O algoritmo executa uma quantidade fixa de operações e não depende de sorteio, rede ou horário.
Leia, confira e reutilize o resultado
A resposta traz campos separados para as partes real e imaginária, representando x + yi sem exigir a interpretação de uma string formatada. Para conferir o resultado, verifique se x é a ao quadrado menos b ao quadrado e se y é 2ab. Outra conferência usa módulos: o módulo do número complexo ao quadrado é igual ao quadrado do módulo original, embora entradas decimais possam apresentar pequenas diferenças no último dígito devido à precisão binária finita do JavaScript.
Preserve toda a precisão durante cálculos intermediários e arredonde apenas na apresentação de uma medida. Esta calculadora encontra o quadrado, não as raízes quadradas; cada entrada tem um único quadrado, enquanto raízes geralmente aparecem em pares.
Casos de uso
Conferir exercícios de álgebra complexa
Verifique a expansão de (a + bi) ao quadrado e compare as duas partes com seu cálculo manual.
Preparar cálculos de engenharia
Eleve ao quadrado grandezas complexas usadas em circuitos, sinais, ondas ou controle sem converter para a forma polar.
Perguntas frequentes
Qual fórmula eleva um número complexo ao quadrado?
Para z = a + bi, o quadrado é z ao quadrado = (a ao quadrado - b ao quadrado) + (2ab)i.
Por que b ao quadrado é subtraído de a ao quadrado?
O termo expandido b ao quadrado vezes i ao quadrado se torna negativo porque i ao quadrado é igual a -1.
Posso elevar um número puramente imaginário ao quadrado?
Sim. Informe zero como parte real. Por exemplo, 0 + 5i ao quadrado retorna -25 + 0i.
Esta calculadora encontra raízes quadradas complexas?
Não. Ela eleva um número complexo ao quadrado e retorna um único resultado. Encontrar raízes é a operação inversa e normalmente produz dois valores.
O que acontece com os sinais se b for negativo?
b² continua positivo na parte real, mas 2ab fica negativo quando a é positivo. Assim, (3 − 4i)² é −7 − 24i, enquanto (3 + 4i)² é −7 + 24i.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imaginary":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imaginary": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imaginary": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imaginary":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imaginary":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"real": 3,
"imaginary": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Informe as partes real e imaginária
Essa validação permite que clientes de API identifiquem dados malformados cedo e evita respostas aparentemente corretas produzidas por coerção involuntária.
Leia, confira e reutilize o resultado
Você pode passar o quadrado para outra equação, armazená-lo como JSON ou exibi-lo com o estilo de sinal adequado ao seu aplicativo. Entradas grandes a ponto de produzir componentes fora do intervalo numérico finito são rejeitadas em vez de retornarem infinito, mantendo o JSON significativo. Cada chamada automatizada de API custa US$ 0,002, e o cálculo de nível A também funciona no navegador.
Casos de integração
Criar fluxos matemáticos determinísticos
Produza componentes numéricos separados que um software possa consumir diretamente em cálculos com JSON.
Perguntas técnicas
Quanto custa um cálculo pela API?
Cada chamada de API custa US$ 0,002. O cálculo de nível A também foi projetado para funcionar gratuitamente no navegador.