Número complexo pelo módulo e argumento
Um módulo 5 com argumento de 53,130102354156° dá 3 + 4i: informe a distância à origem e a direção, em radianos ou graus, e obtenha as partes real e imaginária. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Módulo
- 5
- Argumento
- 53,1301023542
- Unidade de ângulo
- Degrees
- Parte real
- 3
- Parte imaginária
- 4
Esta calculadora de número complexo pelo módulo e argumento converte dados polares para a forma retangular. Informe um módulo não negativo, forneça um argumento e especifique se o ângulo está em radianos ou graus. A calculadora retorna a parte real e o coeficiente imaginário do número resultante a + bi.
Informe o módulo, o argumento e a unidade angular
Comece pela descrição polar do número complexo. O módulo, geralmente representado por r, é a distância até a origem no plano complexo e precisa ser um número finito maior ou igual a zero. Um módulo negativo é rejeitado porque esta calculadora segue a convenção polar padrão, na qual a distância não pode ser negativa.
Em seguida, informe o argumento, geralmente representado por theta. Ele descreve a direção medida a partir do eixo real positivo. O argumento também precisa ser finito, mas pode ser positivo, negativo, zero ou maior que uma volta completa.
Ângulos côngruos são válidos porque seno e cosseno os reduzem naturalmente ao mesmo ponto. Por fim, selecione radianos ou graus. Radianos são o padrão e são adequados para fórmulas matemáticas e para a maioria dos ambientes de programação.
Graus podem ser mais convenientes em geometria, fasores e rotações conhecidas. Verifique sempre se a unidade declarada corresponde ao argumento numérico, pois um ângulo de 90 radianos é muito diferente de um ângulo de 90 graus.
Entenda o cálculo da forma polar para a retangular
A conversão usa a identidade trigonométrica padrão z = r(cos theta + i sin theta). A componente real é calculada como a = r cos theta, enquanto a componente imaginária é calculada como b = r sin theta. Quando graus são selecionados, a calculadora primeiro converte o argumento fornecido em radianos, pois as funções trigonométricas do JavaScript recebem radianos.
Depois, ela calcula o cosseno e o seno e multiplica cada valor pelo módulo. Os sinais posicionam o número no quadrante correto: o quadrante I tem partes real e imaginária positivas; o II tem parte real negativa e imaginária positiva; o III tem ambas negativas; e o IV tem parte real positiva e imaginária negativa. Se o módulo for zero, as duas componentes retangulares serão zero para qualquer argumento finito, refletindo o fato de que todas as direções se encontram na origem.
A trigonometria de ponto flutuante pode gerar resíduos mínimos, como uma parte real quase zero em um ângulo reto. A implementação normaliza resíduos desprezíveis e zero negativo para zero comum e limita o ruído binário excedente com formatação estável de algarismos significativos. Essa limpeza melhora a leitura sem alterar o ponto matemático pretendido.
Leia, confira e reutilize o resultado retangular
A resposta contém dois campos numéricos: real e imaginary. Leia-os como o número complexo retangular real + imaginary vezes i. Se imaginary for negativo, escreva o número com subtração, evitando um sinal duplo; por exemplo, real 3 e imaginary -4 representam 3 - 4i.
Para conferir a conversão, calcule a distância sqrt(real squared + imaginary squared). Exceto pelo arredondamento normal de ponto flutuante, ela deve corresponder ao módulo original. Você também pode verificar o quadrante e compará-lo à direção do argumento informado.
Para um argumento de 120 graus e módulo positivo, a parte real deve ser negativa e a imaginária positiva. Os campos numéricos podem ser enviados diretamente para etapas posteriores de álgebra, gráficos, processamento de sinais ou armazenamento, sem analisar uma expressão de exibição. A validação ocorre antes do cálculo: módulos negativos, campos não numéricos, infinitos e unidades angulares desconhecidas retornam erro de entrada inválida.
Esse comportamento rigoroso impede que registros malformados pareçam números complexos plausíveis em fluxos em lote.
Casos de uso
Confira exercícios de forma polar
Converta um módulo e um ângulo em componentes real e imaginária e compare o resultado ao cálculo manual.
Determine componentes de fasores
Transforme magnitude e fase de um sinal em componentes retangulares para cálculos de circuitos ou sinais.
Normalize registros de números complexos
Converta valores polares estruturados em campos numéricos reais e imaginários consistentes para armazenamento ou processamento.
Perguntas frequentes
Quais fórmulas calculam as partes retangulares?
A parte real é o módulo multiplicado pelo cosseno do argumento, e a parte imaginária é o módulo multiplicado pelo seno.
O módulo pode ser negativo?
Não. O módulo é uma distância e precisa ser não negativo; uma entrada negativa retorna um erro de entrada inválida.
É possível informar o argumento em graus?
Se esse campo for omitido, a calculadora interpretará o argumento em radianos.
O que ocorre quando o módulo é zero?
As partes real e imaginária são retornadas como zero para qualquer argumento finito.
O argumento pode ser negativo ou maior que uma volta completa?
Sim. Qualquer ângulo finito serve, positivo, negativo ou além de uma volta, porque seno e cosseno levam ângulos côngruos ao mesmo ponto do plano.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-from-modulus-argument \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"modulus":5,"argument":53.130102354156}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-from-modulus-argument", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"modulus": 5,
"argument": 53.130102354156
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-from-modulus-argument",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"modulus": 5,
"argument": 53.130102354156
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-from-modulus-argument", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"modulus":5,"argument":53.130102354156}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"modulus":5,"argument":53.130102354156}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-from-modulus-argument", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"modulus": 5,
"argument": 53.130102354156
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_from_modulus_argument",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Ela foi criada para conferências manuais claras e cálculos estruturados por API, com validação explícita que rejeita módulos negativos, valores ausentes, números não finitos e unidades angulares incompatíveis, sem tentar adivinhar o significado da entrada.
Informe o módulo, o argumento e a unidade angular
Informe-o no campo modulus; integrações também podem usar o alias curto r. O alias theta pode substituir argument, embora os nomes canônicos facilitem a compreensão das solicitações armazenadas.
Leia, confira e reutilize o resultado retangular
Cada solicitação converte uma descrição polar e é cobrada como um item a US$ 0,002. O algoritmo é determinístico e não usa rede, armazenamento persistente, valor aleatório ou relógio; portanto, entradas válidas idênticas produzem o mesmo JSON.
Perguntas técnicas
Quanto custa uma conversão?
Uma conversão de módulo e argumento corresponde a um item e custa US$ 0,002.