Komplexe Quadratwurzel berechnen
Die Quadratwurzeln von 3 + 4i sind 2 + i und −2 − i: Geben Sie Real- und Imaginärteil ein und erhalten Sie Hauptwurzel und Gegenstück in Normalform, direkt weiterverwendbar. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Dieser Rechner nimmt eine komplexe Zahl in kartesischer Form mit getrenntem Real- und Imaginärteil entgegen und liefert beide Werte, deren Quadrat die eingegebene Zahl ergibt. Das erste Ergebnis ist die nach der üblichen Zweigkonvention gewählte Hauptwurzel mit nichtnegativem Realteil. Das zweite Ergebnis ist ihr Negatives. Die deterministische Berechnung unterstützt rein reelle, rein imaginäre und allgemeine komplexe Zahlen. Sie erhalten beide Ergebnisse in kartesischer Form und können sie unmittelbar weiterverwenden.
Geben Sie die Zahl in kartesischer Form ein
Schreiben Sie die Zahl als a + bi und tragen Sie a in das Feld für den Realteil sowie b in das Feld für den Imaginärteil ein. Für 3 + 4i verwenden Sie 3 und 4, für 8 - 6i entsprechend 8 und -6. Beide Felder sind Pflichtfelder und erlauben nur endliche Zahlen.
Eine Umwandlung in die Polarform oder eine vorherige Berechnung des Arguments ist nicht erforderlich. Liegt der Wert auf der reellen Achse, geben Sie für den Imaginärteil null ein. Die Antwort bleibt kartesisch und lässt sich ohne trigonometrische Umrechnung weiterverwenden.
Unterscheiden Sie Hauptwurzel und Gegenwert
Jede komplexe Zahl außer null besitzt genau zwei Quadratwurzeln, die jeweils das Negative der anderen sind. Die Antwort kennzeichnet die Hauptwurzel und ihren Gegenwert. Nach der üblichen Konvention ist der Realteil der Hauptwurzel nichtnegativ; auf der negativen reellen Achse ist ihr Imaginärteil nichtnegativ.
Beim Gegenwert wechseln beide Komponenten ihr Vorzeichen. Für 3 + 4i entstehen 2 + i und -2 - i. Für -9 + 0i ist 0 + 3i die Hauptwurzel.
Bei null fallen beide Wurzeln zusammen.
Nutzen und prüfen Sie die Ergebnisse
Prüfen Sie u + vi mit (u² - v²) + (2uv)i und vergleichen Sie beide Komponenten mit der Eingabe. Wegen endlicher binärer Genauigkeit können besonders bei irrationalen Wurzeln kleine Abweichungen in den letzten Stellen auftreten. Behalten Sie für Zwischenschritte die volle Genauigkeit bei und runden Sie erst für die Ausgabe.
Der Algorithmus verwendet den komplexen Betrag und eine numerisch stabile Zweigwahl, ohne Netzwerk, Zufall oder Uhrzeit.
Anwendungsfälle
Komplexe quadratische Gleichungen lösen
Bestimmen Sie beide kartesischen Wurzeln bei einer komplexen Diskriminante oder quadrierten Variablen.
Technische Berechnungen prüfen
Zerlegen Sie eine komplexe Wurzel für Schaltungen, Wellen und Regelungssysteme in ihre Komponenten.
Häufige Fragen
Warum gibt es zwei Ergebnisse?
Wenn das Quadrat von w gleich z ist, gilt dies auch für -w. Zuerst erscheint die Hauptwurzel, danach ihr Gegenwert.
Wie wird die Hauptwurzel ausgewählt?
Der Standardzweig verlangt einen nichtnegativen Realteil; auf der negativen reellen Achse ist der Imaginärteil nichtnegativ.
Kann ich eine negative reelle Zahl verwenden?
Ja. Geben Sie den negativen Wert als Realteil und null als Imaginärteil ein. Für -9 + 0i lautet die Hauptwurzel 0 + 3i.
Warum haben manche Ergebnisse viele Dezimalstellen?
Viele Wurzeln sind irrational, und die Berechnung nutzt endliche Genauigkeit. Runden Sie erst bei der Darstellung.
Wie prüfe ich eine komplexe Quadratwurzel von Hand?
Quadrieren Sie die Wurzel u + vi als (u² − v²) + (2uv)i und vergleichen Sie mit der Ausgangszahl. Für 2 + i ergibt das 4 − 1 = 3 und 2 · 2 · 1 = 4, also wieder 3 + 4i.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square-root \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imaginary":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square-root", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imaginary": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square-root",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imaginary": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square-root", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imaginary":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imaginary":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-square-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"real": 3,
"imaginary": 4
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_square_root",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Nutzen und prüfen Sie die Ergebnisse
In automatisierten Abläufen kostet jede Anfrage $0.002; ungültige Werte führen zu einem eindeutigen Eingabefehler.
Integrationsbeispiele
Deterministische Rechenabläufe erstellen
Verarbeiten Sie ein stabiles JSON-Paar, ohne Zweigkonventionen selbst implementieren zu müssen.
Technische Fragen
Was kostet eine Berechnung per API?
Jede API-Anfrage kostet $0.002. Als Tier-A-Funktion kann die Berechnung auch kostenlos im Browser ausgeführt werden.