ForHosting KIT · الرياضيات

مفارقة بيرتران

عند اختيار طرفي الوتر عشوائيًا على المحيط يكون الوتر أطول من ضلع المثلث المتساوي الأضلاع المحاط باحتمال 1/3، بينما تعطي طريقتان أخريان تبدوان عادلتين 1/2 و1/4. اختر الطريقة ونصف القطر لترى كل إجابة. مجانية في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

نصف القطر: 1

تحصل على

الاحتمال: 0.3333333333
ضلع المثلث: 1.7320508076
المسافة الحرجة: 0.5

مفارقة بيرتران هي البرهان الكلاسيكي على أن عبارة الوتر العشوائي لا تسمّي احتمالًا واحدًا حتى يُختار أسلوب انتقاء. فإذا أُعطي دائرة ذات نصف قطر موجب، كان للمثلث المتساوي الأضلاع المحاط بتلك الدائرة طول ضلع محدد. تُبلغ هذه الحاسبة احتمال أن يكون وتر مأخوذ عشوائيًا أطول من ذلك الضلع على وجه التحديد، وفق واحدة من طرائق بيرتران التاريخية الثلاث: طرفان عشوائيان على المحيط، أو نقطة عشوائية على نصف قطر عشوائي، أو منتصف مرسوم بانتظام من القرص. وتُقيَّم القياسة الهندسية بصيغة مغلقة من نصف القطر والطريقة المختارة، من دون أخذ عينات ومن دون نموذج لغوي. ويُرفض نصف القطر غير الموجب بوصفه إدخالًا غير صالح، لأنه لا تبقى عندئذ دائرة ولا مثلث محاط للمقارنة.

ماذا تسأل مفارقة بيرتران ولماذا تظهر ثلاث إجابات

طرح Joseph Bertrand سنة 1889 سؤالًا قصيرًا خادعًا: يُرسم وتر عشوائيًا في دائرة؛ ما احتمال أن يكون ذلك الوتر أطول من ضلع مثلث متساوي الأضلاع محاط بالدائرة نفسها؟ وطول الضلع نفسه ليس ملتبسًا. ففي دائرة نصف قطرها r يكون ضلع المثلث المتساوي الأضلاع المحاط مساويًا لـ r في الجذر التربيعي لثلاثة، لأن كل زاوية مركزية تبلغ مئة وعشرين درجة، وصيغة الوتر، اثنان r في جيب نصف الزاوية، تؤول تمامًا إلى r في جذر ثلاثة.

أما الوتر الذي يبعد منتصفه مسافة d عن المركز فطوله اثنان في جذر r تربيع ناقص d تربيع، فهو يتجاوز ذلك الضلع تمامًا عندما يكون d أصغر من r على اثنين. وليست الصعوبة في المقارنة، بل في معنى العشوائية. فإجراءات طبيعية مختلفة لاختيار الوتر تولّد قياسات مختلفة على فضاء المنتصفات أو الأطراف، ومن ثم احتمالات مختلفة للحدث الهندسي نفسه.

وعرض بيرتران ثلاثة إجراءات تبدو عادلة بالقدر نفسه فحصل على الثلث والنصف والربع. وتُحل المفارقة بتسمية القياسة، لا بالحكم على أحد الأعداد الثلاثة بالخطأ. وتأخذ هذه الحاسبة ذلك الحل على محمل الجد: تختارون طريقة، فتقوّم القياسة الموافقة، وتعيد احتمال أن يتجاوز الوتر العشوائي ضلع المثلث المحاط.

حالات الاستخدام

عرض صفّي للاحتمال الهندسي

يقابل المعلمون طرائق بيرتران الثلاث على الدائرة نفسها حتى يرى الطلاب أن الوتر العشوائي يبقى ناقصًا حتى تُسمّى قياسة، ويتحققون من الإجابات الكلاسيكية الثلث والنصف والربع من دون رسم أوتار باليد.

التحقق من الكتب والواجبات

يؤكد الطلاب أن ضلع المتساوي الأضلاع المحاط هو r في جذر ثلاثة، وأن حدث الوتر الطويل هو القرص بنصف قطر r على اثنين، وأن كل طريقة مسمّاة تنتج احتمالها المنشور لأي نصف قطر موجب.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا لم يكن نصف قطر الدائرة موجبًا؟

وتُرفض قيم radius الصفرية والسالبة واللامتناهية والمفقودة ولا تُحتسب رسومًا، لأنها لا تعرّف دائرة.

لماذا تعطي الطرائق الثلاث ثلاث إجابات مختلفة؟

كل طريقة تولّد قياسة مختلفة على الأوتار. وradial منتظمة على طول نصف قطر وتعطي النصف. وmidpoint منتظمة في القرص وتعطي الربع.

هل يعتمد الاحتمال على نصف قطر الدائرة؟

لا. فما إن يصبح نصف القطر موجبًا حتى تكون كل قياسة من الثلاث لازمة المقياس، فيكون الاحتمال ثلثًا أو نصفًا أو ربعًا.

من طرح هذه المفارقة ومتى؟

طرحها جوزيف برتران عام 1889 بسؤال قصير عن احتمال أن يكون وتر عشوائي أطول من ضلع المثلث المحاط، فتبيّن أن ثلاث طرائق تبدو عادلة بالقدر نفسه تعطي ثلاث إجابات مختلفة.

ما طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع المحاط بالدائرة؟

يساوي نصف القطر مضروبًا في الجذر التربيعي لثلاثة، أي 1.732050807569 عندما يكون نصف القطر 1. ويكون الوتر أطول منه تمامًا عندما يبعد منتصفه عن المركز أقل من نصف نصف القطر.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/stat/betrand-paradox

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/betrand-paradox \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"radius":1,"method":"endpoints"}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/betrand-paradox", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "radius": 1,
    "method": "endpoints"
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/stat/betrand-paradox",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "radius": 1,
    "method": "endpoints"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/betrand-paradox", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"radius":1,"method":"endpoints"}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"radius":1,"method":"endpoints"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/betrand-paradox", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "radius": 1,
  "method": "endpoints"
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "stat.betrand_paradox",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

كيف تتحقق هذه الحاسبة من الإدخال وتقوّم القياسات الثلاث

استدعوا القدرة بحقلين إلزاميين. الحقل radius هو نصف قطر الدائرة: عدد منتهٍ يجب أن يكون موجبًا على وجه التحديد. ويحسب المحرك أولًا ضلع المثلث المحاط s المساوي لـ r في الجذر التربيعي لثلاثة، ومسافة المنتصف الحرجة d-star المساوية لجذر r تربيع ناقص s على اثنين تربيع، وهي تبسيط إلى r على اثنين. وفي radial يُختار نصف قطر وتُؤخذ نقطة بانتظام عليه بوصفها منتصف الوتر العمودي: للقطعة المواتية الطول d-star، فيكون الاحتمال نصفًا. وفي midpoint يكون المنتصف منتظمًا في القرص: المجموعة المواتية هي القرص المتحد المركز بنصف قطر d-star، فيكون الاحتمال نسبة المساحات ربعًا. والصفر والقيم السالبة وNaN واللانهايات تفشل مع invalid_input ولا تُحتسب رسومًا، لأن نصف قطر غير موجب لا يعرّف دائرة ومن ثم لا يعرّف مثلثًا محاطًا. وتُقبل الأسماء البديلة r وR وcircle_radius. والحقل method واحد من ثلاث قيم مغلقة: endpoints أو radial أو midpoint. وتُقبل الأسماء البديلة selection وbertrand_method. وفي endpoints يُعامل النقطة الثانية على المحيط بوصفها منتظمة: يتجاوز الوتر s عندما تقع الزاوية المركزية في الفترة المفتوحة من اثنين باي على ثلاثة إلى أربعة باي على ثلاثة، فيكون القوس المواتي مقسومًا على المحيط الكامل ثلثًا. وتُبلغ الاستجابة probability بوصفه القيمة الرئيسة، مع radius وmethod وtriangle_side وcritical_distance وformula.

الاستخدام العملي ولزوم المقياس والتسعير وقنوات التسليم

استخدموا أداة المتصفح عندما تدرّسون الاحتمال الهندسي، أو تتحققون من دعوى في كتاب عن طرائق بيرتران الثلاث، أو تُظهرون لماذا تظل عبارة خذوا وترًا عشوائيًا ناقصة حتى تُسمّى قياسة. والنتائج حتمية تمامًا: فنصف القطر نفسه والطريقة نفسها يعطيان دائمًا الاحتمال نفسه والضلع نفسه والمسافة الحرجة نفسها. ولا يوجد نموذج لغوي ولا خدمة هندسة خارجية ولا أخذ عينات عشوائي للأوتار، لذا يمكن تثبيت القدرة بأمان في فحوصات التكامل المستمر والمواد التعليمية القابلة للتكرار. واستخدموا API عندما يحتاج نص برمجي أو منصة تعليمية أو أوراكل اختبارات أو دفتر بحث إلى JSON مستقر لأزواج كثيرة من radius وmethod بموجب عقد واحد. وكل طلب ناجح بند قابل للفوترة بسعر $0.002؛ والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد. ويجوز أن يكون نصف القطر أي عدد منتهٍ موجب: فالاحتمالات الثلاثة لا تعتمد على نصف القطر بعينه، وذلك نظرية لزوم المقياس لكل قياسة، غير أن الحقل يظل إلزاميًا حتى يبقى triangle_side وcritical_distance صادقين بُعديًا، وحتى يُرفض نصف القطر غير الموجب بدل تجاهله في صمت. وصِلوا نقطة النهاية بدروس الاحتمال أو بأواكل المقابلات أو بدفاتر تقابل بين إنشاءات ثابتة بالدوران وشعاعية ومنتظمة بالمساحة لوتر عشوائي، من دون رسم مدرج Monte Carlo لا يستقر أبدًا تمامًا.

حالات التكامل

أواكل حتمية للاختبارات والامتحانات

تستدعي المنصات التعليمية وأجنحة CI أوراكلًا مستقرًا يرفض نصف قطر غير موجب، ولا يقبل إلا endpoints أو radial أو midpoint، ويعيد حقول احتمال متطابقة للمدخلات المتطابقة.

أسئلة تقنية

كيف يُحسب احتمال مفارقة بيرتران؟

أرسلوا JSON بنصف قطر radius موجب وmethod مساوٍ لـ endpoints أو radial أو midpoint. وتتضمن الاستجابة probability أن يتجاوز الوتر العشوائي ضلع المتساوي الأضلاع المحاط، إضافة إلى triangle_side وcritical_distance.

هل حاسبة مفارقة بيرتران مجانية؟

تعمل أداة المتصفح مجانًا على جهازكم. وتستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل بند ناجح؛ ولا تُحتسب إخفاقات التحقق.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا