Paradosso di Bertrand: corda casuale e lato del triangolo

Come questa calcolatrice convalida l'input e valuta le tre misure

Richiami la capacità con due campi obbligatori. radius è il raggio del cerchio: un numero finito che deve essere strettamente positivo. Il motore calcola prima il lato del triangolo inscritto s, uguale a r volte la radice quadrata di tre, e la distanza critica del punto medio d-star, uguale alla radice di r al quadrato meno s su due al quadrato, che si semplifica in r su due. Con radial si sceglie un raggio e si prende un punto in modo uniforme lungo di esso come punto medio della corda perpendicolare: il segmento favorevole ha lunghezza d-star, quindi la probabilità è un mezzo. Con midpoint il punto medio è uniforme nel disco: l'insieme favorevole è il disco concentrico di raggio d-star, quindi la probabilità è il rapporto di aree di un quarto. Lo zero, i valori negativi, NaN e gli infiniti falliscono con invalid_input e non vengono addebitati, perché un raggio non positivo non definisce un cerchio e quindi nemmeno un triangolo inscritto. Sono accettati gli alias r, R e circle_radius. method è uno di tre valori chiusi: endpoints, radial o midpoint. Sono accettati gli alias selection e bertrand_method. Con endpoints il secondo punto della circonferenza è trattato come uniforme: la corda supera s quando l'angolo al centro giace nell'intervallo aperto da due pi su tre a quattro pi su tre, quindi l'arco favorevole diviso per la circonferenza intera è un terzo. La risposta riporta probability come valore principale, insieme a radius, method, triangle_side, critical_distance e formula.

Uso pratico, invarianza di scala, prezzi e canali di consegna

Usi lo strumento del browser quando insegna la probabilità geometrica, verifica un'affermazione da manuale sui tre metodi di Bertrand o mostra perché l'istruzione prenda una corda a caso resta incompleta finché non si nomina una misura. I risultati sono del tutto deterministici: lo stesso raggio e lo stesso metodo producono sempre la stessa probabilità, lo stesso lato e la stessa distanza critica. Non c'è modello linguistico, né servizio esterno di geometria né campionamento casuale di corde, quindi la capacità può essere fissata con sicurezza in controlli di integrazione continua e in materiali didattici riproducibili. Usi l'API quando uno script, una piattaforma didattica, un oracolo di quiz o un taccuino di ricerca necessita di JSON stabile per molte coppie radius e method sotto un unico contratto. Ogni richiesta riuscita è un articolo fatturabile a $0.002; la convalida fallita non consuma il saldo. Il raggio può essere qualsiasi numero finito positivo: le tre probabilità non dipendono dal raggio particolare, teorema dell'invarianza di scala di ciascuna misura, ma il campo resta obbligatorio affinché triangle_side e critical_distance siano dimensionalmente onesti e affinché un raggio non positivo venga rifiutato anziché ignorato in silenzio. Colleghi l'endpoint a tutorial di probabilità, oracoli per colloqui o taccuini che confrontano costruzioni invarianti per rotazione, radiali e uniformi in area di una corda casuale, senza mai tracciare un istogramma di Monte Carlo che non finisce di stabilizzarsi.