Paradoxo de Bertrand: corda aleatória e lado do triângulo

Como esta calculadora valida a entrada e avalia as três medidas

Chame a capacidade com dois campos obrigatórios. radius é o raio do círculo: um número finito que deve ser estritamente positivo. O motor calcula primeiro o lado do triângulo inscrito s, igual a r vezes a raiz quadrada de três, e a distância crítica do ponto médio d-star, igual à raiz de r ao quadrado menos s sobre dois ao quadrado, que se simplifica para r sobre dois. Em radial um raio é escolhido e um ponto é tomado de forma uniforme ao longo dele como ponto médio da corda perpendicular: o segmento favorável tem comprimento d-star, então a probabilidade é um meio. Em midpoint o ponto médio é uniforme no disco: o conjunto favorável é o disco concêntrico de raio d-star, então a probabilidade é a razão de áreas de um quarto. Zero, valores negativos, NaN e infinitos falham com invalid_input e não são cobrados, porque um raio não positivo não define um círculo e, portanto, tampouco um triângulo inscrito. Os aliases r, R e circle_radius são aceitos. method é um de três valores fechados: endpoints, radial ou midpoint. Os aliases selection e bertrand_method são aceitos. Em endpoints o segundo ponto da circunferência é tratado como uniforme: a corda supera s quando o ângulo central está no intervalo aberto de dois pi sobre três a quatro pi sobre três, de modo que o arco favorável dividido pela circunferência completa é um terço. A resposta informa probability como valor principal, juntamente com radius, method, triangle_side, critical_distance e formula.

Uso prático, invariância de escala, preços e canais de entrega

Use a ferramenta do navegador ao ensinar probabilidade geométrica, ao conferir uma afirmação de livro sobre os três métodos de Bertrand ou ao mostrar por que a instrução pegue uma corda ao acaso fica incompleta até que uma medida seja nomeada. Os resultados são totalmente determinísticos: o mesmo raio e o mesmo método sempre produzem a mesma probabilidade, o mesmo lado e a mesma distância crítica. Não há modelo de linguagem, nem serviço externo de geometria nem amostragem aleatória de cordas, de modo que a capacidade pode ser fixada com segurança em verificações de integração contínua e em materiais didáticos reproduzíveis. Use a API quando um script, uma plataforma curricular, um oráculo de questionários ou um caderno de pesquisa precisar de JSON estável para muitos pares de radius e method sob um mesmo contrato. Cada solicitação bem-sucedida é um item faturável a US$ 0,002; a validação malsucedida não consome saldo. O raio pode ser qualquer número finito positivo: as três probabilidades não dependem do raio particular, teorema da invariância de escala de cada medida, mas o campo continua obrigatório para que triangle_side e critical_distance sejam dimensionalmente honestos e para que um raio não positivo seja rejeitado em vez de ignorado em silêncio. Conecte o endpoint a tutoriais de probabilidade, oráculos de entrevista ou cadernos que contrastem construções invariantes por rotação, radiais e uniformes em área de uma corda aleatória, sem jamais desenhar um histograma de Monte Carlo que nunca termina de se estabilizar.