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Paradoxo dos dois envelopes

Veja a conta que cria o paradoxo dos dois envelopes: ficar com o envelope aberto vale exatamente o que você viu, enquanto trocar parece valer 1,25 vez esse valor no modelo clássico de metade ou dobro. Grátis no seu navegador.

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Exemplo resolvido

Se você digitar

Quantidade: 20

Você obtém

A outra metade: 10
O outro dobro: 40
Esperado se mantiver: 20
Esperado se trocar: 25

O paradoxo dos dois envelopes é um clássico da probabilidade e da teoria da decisão: mostram-se a você dois envelopes indistinguíveis, um dos quais guarda o dobro do dinheiro do outro. Depois que você abre um e vê um valor positivo, um cálculo ingênuo parece mostrar que trocar é sempre melhor, porque o envelope fechado parece igualmente provável de conter a metade ou o dobro. Esta calculadora recebe o valor aberto e informa os dois valores esperados nesse modelo clássico de igual probabilidade: o de ficar com o envelope aberto, que é o próprio valor, e o de trocar, que é uma vez e um quarto o valor.

O que o paradoxo dos dois envelopes calcula e por que as duas esperanças aparecem

O paradoxo dos dois envelopes começa com um par de envelopes lacrados. Um guarda o dobro do dinheiro do outro, e você é convidado a escolher um ao acaso. Depois de abrir o escolhido e observar um valor positivo A, um argumento tentador diz que você deveria trocar.

O envelope não visto, afirma o argumento, é igualmente provável de conter a metade de A ou o dobro de A, de modo que o valor esperado de trocar é um meio vezes A sobre dois mais um meio vezes dois A, o que se simplifica a uma vez e um quarto de A. O valor esperado de ficar com o que você já vê é simplesmente A. Como 1.25 A é maior que A para todo A positivo, trocar parece estritamente melhor seja qual for o valor encontrado.

Essa recomendação incondicional é o paradoxo: o arranjo é simétrico, então o mesmo argumento teria valido se você tivesse aberto primeiro o outro envelope, e as duas partes não podem ganhar ao mesmo tempo em esperança ao trocar. Esta calculadora não tenta dissolver a disputa filosófica sobre priors, distribuições impróprias ou se as probabilidades metade-ou-dobro podem mesmo ser um meio depois que A é observado.

Ela calcula os dois valores esperados no modelo clássico de troca com igual probabilidade para que estudantes, redatores e tutores inspecionem a aritmética que cria o enigma. Você informa o valor aberto; a ferramenta devolve a esperança de ficar, a de trocar, as alternativas metade e dobro, e a vantagem aparente de trocar. A aritmética é determinística e nunca amostra envelopes ao acaso.

Para que servem os dois valores esperados

Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora do paradoxo dos dois envelopes para que os alunos verifiquem ambos os valores esperados de um valor aberto arbitrário sem misturar à mão os casos metade e dobro. Artigos de filosofia e de teoria da decisão precisam de um oráculo determinístico que imprima 1.25 A versus A para qualquer aposta positiva, para que uma figura ou um gabarito nunca desvie por um erro de planilha. A validação falha não consome saldo.

Mantenha as solicitações pequenas, fixe nos testes os campos flutuantes limpos e você terá esperanças de ficar e de trocar reproduzíveis para lição de casa, demonstrações em aula e workers na borda, sem montar a sua própria biblioteca de probabilidade.

Casos de uso

Checagens em sala e na lição de casa

Deixe os alunos enviarem o valor de um envelope aberto e verificarem os dois valores esperados: ficar igual a A, trocar igual a 1.25 A, com as alternativas metade e dobro visíveis.

Artigos e anotações de teoria da decisão

Gere a comparação clássica 1.25 A versus A para qualquer aposta positiva, para que figuras e gabaritos fiquem fiéis ao modelo de troca com igual probabilidade.

Perguntas frequentes

Como os dois valores esperados são calculados?

Dado um valor aberto positivo A, o outro envelope é tratado como A/2 ou 2A com igual probabilidade. E[keep] é A. E[switch] é 0.5×(A/2) + 0.5×(2A) = 1.25A.

Por que trocar parece melhor do que ficar?

No modelo clássico a esperança de trocar é sempre 1.25 vezes o valor aberto, então supera a de ficar para todo A>0. Essa recomendação incondicional é o paradoxo; a calculadora informa os dois números em vez de dissolver o debate.

O que acontece se o valor for zero ou negativo?

Um valor aberto não positivo não é um envelope válido neste modelo, então a solicitação é rejeitada e não é cobrada.

Isto resolve o paradoxo dos dois envelopes?

Não. Calcula a aritmética clássica de troca com igual probabilidade que cria o enigma.

Se trocar parece melhor, por que não trocar de novo?

Porque o mesmo raciocínio valeria para o outro envelope, e você trocaria sem parar. A situação é simétrica e os dois envelopes não podem ser ao mesmo tempo a melhor escolha: é exatamente isso que forma o paradoxo.

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"amount":20}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "amount": 20
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "amount": 20
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"amount":20}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"amount":20}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "amount": 20
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "stat.two_envelopes_paradox",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

A comparação é determinística, não faz sorteios aleatórios e rejeita valores não positivos para que uma sala de aula ou um cliente API nunca trate uma aposta nula ou negativa como uma instância válida do paradoxo.

Contrato de entrada, forma da resposta e comportamento de erro

Zeros e negativos também falham, porque uma aposta não positiva não é um envelope aberto válido neste modelo e não deve ser tratada como uma esperança zero bem-sucedida. Essas falhas não são cobradas. Envie por POST um corpo JSON com um número finito positivo obrigatório: amount, o dinheiro que você observou no envelope aberto. O campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; os aliases value, a e opened são aceitos e resolvidos no mesmo valor canônico. Campos ausentes, strings vazias, texto não numérico, Infinity e NaN falham com invalid_input nomeando amount. Em caso de sucesso o corpo ecoa amount, depois other_half como A dividido por dois e other_double como duas vezes A, os dois conteúdos igualmente prováveis do envelope fechado. expected_keep é A, o valor esperado de ficar. expected_switch é um meio vezes a metade mais um meio vezes o dobro, ou seja 1.25 A. switch_advantage é a diferença, 0.25 A, e formula reescreve a identidade para exibição. Exemplo: amount vinte produz other_half dez, other_double quarenta, expected_keep vinte, expected_switch vinte e cinco e switch_advantage cinco. Combine os números com o seu próprio ensaio ou anotações se precisar da resolução bayesiana; este endpoint é deliberadamente a aritmética clássica da troca, não um prior sobre o valor menor nem um Monte Carlo de muitos pares de envelopes.

Onde uma API do valor esperado dos dois envelopes se justifica

Geradores de preparação para exames e plugins LMS podem pontuar um item curto que pede a esperança de trocar dado A, e tratar um valor não positivo como invalid_input em vez de um zero silencioso que um corretor defeituoso poderia marcar como certo. Como a implementação é parse de nível A puro, cada chamada bem-sucedida custa o preço-base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.

Casos de integração

Correção automática de exames e LMS

Pontue itens dos dois envelopes com um oráculo determinístico que rejeita um valor não positivo como invalid_input e nunca inventa um valor esperado para uma aposta nula.

Perguntas técnicas

Quanto custa a calculadora do paradoxo dos dois envelopes?

A ferramenta do navegador é gratuita. Solicitações API usam saldo pré-pago de KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.

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