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Paradoxe des deux enveloppes

Voyez le calcul qui crée le paradoxe des deux enveloppes : garder l'enveloppe ouverte vaut exactement ce que vous avez vu, alors qu'échanger semble valoir 1,25 fois ce montant dans le modèle classique de la moitié ou du double. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

Quantité: 20

Vous obtenez

L'autre moitié: 10
L'autre double: 40
Espérance si l'on garde: 20
Espérance si l'on change: 25

Le paradoxe des deux enveloppes est un classique de la probabilité et de la théorie de la décision : on vous présente deux enveloppes indiscernables, dont l'une contient deux fois plus d'argent que l'autre. Après avoir ouvert l'une et vu un montant positif, un calcul naïf semble montrer qu'échanger est toujours préférable, car l'enveloppe fermée paraît également susceptible de contenir la moitié ou le double. Ce calculateur prend le montant ouvert et communique les deux espérances sous ce modèle classique d'équiprobabilité : celle de garder l'enveloppe ouverte, qui est le montant lui-même, et celle d'échanger, qui vaut une fois et un quart le montant.

Ce que calcule le paradoxe des deux enveloppes et pourquoi les deux espérances apparaissent

Le paradoxe des deux enveloppes commence par une paire d'enveloppes scellées. L'une contient deux fois plus d'argent que l'autre, et l'on vous invite à en choisir une au hasard. Après avoir ouvert celle que vous avez choisie et observé un montant positif A, un argument tentant affirme que vous devriez échanger.

L'enveloppe non vue, dit l'argument, a autant de chances de contenir la moitié de A que le double de A, si bien que l'espérance d'échanger vaut un demi fois A sur deux plus un demi fois deux A, ce qui se simplifie en une fois et un quart de A. L'espérance de garder ce que vous voyez déjà est simplement A. Comme 1.25 A est plus grand que A pour tout A positif, échanger paraît strictement meilleur quel que soit le montant trouvé.

Cette recommandation inconditionnelle est le paradoxe : le dispositif est symétrique, le même argument aurait donc valu si vous aviez ouvert d'abord l'autre enveloppe, et les deux parties ne peuvent pas gagner chacune en espérance en échangeant. Ce calculateur n'essaie pas de dissoudre le débat philosophique sur les priors, les distributions impropres, ni sur le fait que les probabilités moitié-ou-double puissent vraiment valoir un demi après observation de A.

Il calcule les deux espérances sous le modèle classique d'échange équiprobable afin que les étudiants, les rédacteurs et les tuteurs inspectent l'arithmétique qui crée l'énigme. Vous fournissez le montant ouvert ; l'outil renvoie l'espérance de garder, celle d'échanger, les alternatives moitié et double, et l'avantage apparent d'échanger. L'arithmétique est déterministe et ne tire jamais d'enveloppes au hasard.

À quoi servent les deux espérances calculées

Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur du paradoxe des deux enveloppes pour que les apprenants vérifient les deux espérances d'un montant ouvert arbitraire sans mélanger à la main les cas moitié et double. Les articles de philosophie et de théorie de la décision ont besoin d'un oracle déterministe qui imprime 1.25 A contre A pour toute mise positive, afin qu'une figure ou un corrigé ne dérive jamais d'une faute de tableur. Une validation échouée ne consomme pas le solde.

Gardez les requêtes petites, figez dans les tests les champs flottants nettoyés, et vous obtenez des espérances de garder et d'échanger reproductibles pour les devoirs, les démonstrations de cours et les workers en bordure, sans dresser votre propre bibliothèque de probabilités.

Cas d’usage

Contrôles en classe et devoirs

Laissez les élèves envoyer le montant d'une enveloppe ouverte et vérifier les deux espérances : garder égale A, échanger égale 1.25 A, avec les alternatives moitié et double affichées.

Articles et notes de théorie de la décision

Produisez la comparaison classique 1.25 A contre A pour toute mise positive, afin que figures et corrigés restent fidèles au modèle d'échange équiprobable.

Questions fréquentes

Comment les deux espérances sont-elles calculées ?

Étant donné un montant ouvert positif A, l'autre enveloppe est traitée comme A/2 ou 2A avec égale probabilité. E[keep] vaut A. E[switch] vaut 0.5×(A/2) + 0.5×(2A) = 1.25A.

Pourquoi échanger paraît-il meilleur que garder ?

Sous le modèle classique, l'espérance d'échanger vaut toujours 1.25 fois le montant ouvert, donc elle dépasse celle de garder pour tout A>0. Cette recommandation inconditionnelle est le paradoxe ; le calculateur rapporte les deux nombres plutôt que de dissoudre le débat.

Que se passe-t-il si le montant est zéro ou négatif ?

Un montant ouvert non positif n'est pas une enveloppe valide dans ce modèle, donc la requête est rejetée et n'est pas facturée.

Cela résout-il le paradoxe des deux enveloppes ?

Non. Il calcule l'arithmétique classique d'échange équiprobable qui crée l'énigme. Les résolutions qui placent un prior sur le montant plus petit, ou qui nient les probabilités d'un demi après avoir vu A, relèvent du commentaire, pas de ce point de terminaison.

Si échanger semble meilleur, pourquoi ne pas échanger encore ?

Parce que le même raisonnement s'appliquerait à l'autre enveloppe, et vous échangeriez sans fin. La situation est symétrique et les deux enveloppes ne peuvent pas être chacune le meilleur choix : c'est précisément ce qui fait le paradoxe.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"amount":20}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "amount": 20
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "amount": 20
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"amount":20}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"amount":20}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "amount": 20
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "stat.two_envelopes_paradox",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

La comparaison est déterministe, n'effectue aucun tirage aléatoire et refuse les montants non positifs afin qu'une classe ou un client API ne traite jamais une mise nulle ou négative comme une instance valide du paradoxe.

Contrat d'entrée, forme de la réponse et comportement en cas d'erreur

Zéros et négatifs échouent aussi, car une mise non positive n'est pas une enveloppe ouverte valide dans ce modèle et ne doit pas être traitée comme une espérance nulle réussie. Ces échecs ne sont pas facturés. Associez les chiffres à votre propre essai ou à vos notes si vous avez besoin de la résolution bayésienne ; ce point de terminaison est délibérément l'arithmétique classique de l'échange, non un prior sur le montant plus petit ni un Monte Carlo de nombreuses paires d'enveloppes. Envoyez par POST un corps JSON avec un nombre fini positif obligatoire : amount, l'argent que vous avez observé dans l'enveloppe ouverte. Le champ peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne numérique ; les alias value, a et opened sont acceptés et résolus vers le même montant canonique. Champs manquants, chaînes vides, texte non numérique, Infinity et NaN échouent avec invalid_input en nommant amount. En cas de succès le corps répète amount, puis other_half comme A divisé par deux et other_double comme deux fois A, les deux contenus équiprobables de l'enveloppe fermée. expected_keep est A, l'espérance de rester. expected_switch est un demi fois la moitié plus un demi fois le double, soit 1.25 A. switch_advantage est la différence, 0.25 A, et formula reformule l'identité pour l'affichage. Exemple : amount vingt donne other_half dix, other_double quarante, expected_keep vingt, expected_switch vingt-cinq et switch_advantage cinq.

Où une API d'espérance des deux enveloppes justifie son existence

Les générateurs de préparation aux examens et les greffons LMS peuvent noter un item court qui demande l'espérance d'échanger sachant A, et traiter un montant non positif comme invalid_input plutôt qu'un zéro silencieux qu'un correcteur défectueux pourrait marquer juste. Comme l'implémentation est parse de niveau A pur, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.

Cas d'intégration

Notation automatique d'examens et LMS

Notez les items des deux enveloppes avec un oracle déterministe qui refuse un montant non positif comme invalid_input et n'invente jamais d'espérance pour une mise nulle.

Questions techniques

Combien coûte le calculateur du paradoxe des deux enveloppes ?

L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.

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