Zwei-Umschläge-Paradoxon
Sehen Sie die Rechnung hinter dem Zwei-Umschläge-Paradoxon: Behalten ist genau so viel wert wie der gesehene Betrag, Tauschen scheint im klassischen Modell aus Hälfte oder Doppeltem das 1,25-Fache wert zu sein. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Menge
- 20
- Die andere Hälfte
- 10
- Das andere Doppelte
- 40
- Erwartungswert bei Behalten
- 20
- Erwartungswert bei Wechsel
- 25
Das Zwei-Umschläge-Paradoxon ist ein Klassiker der Wahrscheinlichkeit und Entscheidungstheorie: Ihnen werden zwei ununterscheidbare Umschläge gezeigt, von denen einer doppelt so viel Geld enthält wie der andere. Nachdem Sie einen öffnen und einen positiven Betrag sehen, scheint eine naive Rechnung zu zeigen, dass Tauschen immer besser ist, weil der ungeöffnete Umschlag ebenso wahrscheinlich die Hälfte oder das Doppelte enthalten soll. Dieser Rechner nimmt den geöffneten Betrag und liefert beide Erwartungswerte unter jenem klassischen Gleichwahrscheinlichkeitsmodell: den des Behaltens des geöffneten Umschlags, der der Betrag selbst ist, und den des Tauschens, der das Eineinviertelfache des Betrags ist.
Was das Zwei-Umschläge-Paradoxon berechnet und warum beide Erwartungen erscheinen
Das Zwei-Umschläge-Paradoxon beginnt mit einem Paar versiegelter Umschläge. Einer enthält doppelt so viel Geld wie der andere, und Sie werden gebeten, einen zufällig zu wählen. Nachdem Sie den gewählten öffnen und einen positiven Betrag A beobachten, sagt ein verlockendes Argument, Sie sollten tauschen.
Der ungesehene Umschlag, behauptet das Argument, enthalte mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Hälfte von A oder das Doppelte von A, sodass der Erwartungswert des Tauschens ein Halbes mal A durch zwei plus ein Halbes mal zwei A ist, was sich zu Eineinviertel A vereinfacht. Der Erwartungswert, das bereits Gesehene zu behalten, ist einfach A. Weil 1.25 A für jedes positive A größer als A ist, erscheint Tauschen unabhängig vom Fund streng besser.
Diese bedingungslose Empfehlung ist das Paradoxon: der Aufbau ist symmetrisch, dasselbe Argument hätte also gegolten, wenn Sie zuerst den anderen Umschlag geöffnet hätten, und beide Seiten können nicht zugleich in Erwartung durch Tausch gewinnen. Dieser Rechner versucht nicht, den philosophischen Streit über Priors, uneigentliche Verteilungen oder darüber zu lösen, ob die Halb-oder-Doppelt-Wahrscheinlichkeiten nach Beobachtung von A wirklich ein Halbes sein können. Er berechnet die beiden Erwartungswerte unter dem klassischen gleichwahrscheinlichen Tauschmodell, damit Studierende, Autoren und Tutoren die Arithmetik prüfen können, die das Rätsel erzeugt.
Sie liefern den geöffneten Betrag; das Werkzeug gibt die Behalte-Erwartung, die Tausch-Erwartung, die Halb- und Doppelalternativen und den scheinbaren Tauschvorteil zurück. Die Arithmetik ist deterministisch und zieht niemals zufällige Umschläge.
Wofür die beiden Erwartungswerte nützlich sind
Unterrichtsräume und Tutorienplattformen nutzen einen Rechner zum Zwei-Umschläge-Paradoxon, damit Lernende beide Erwartungswerte zu einem beliebigen geöffneten Betrag prüfen können, ohne die Halb- und Doppeltfälle von Hand zu vermischen. Philosophie- und entscheidungstheoretische Artikel brauchen ein deterministisches Orakel, das 1.25 A gegen A für jeden positiven Einsatz druckt, damit eine Abbildung oder ein Lösungsschlüssel nie durch einen Tabellenfehler driftet. Fehlgeschlagene Prüfung wird nicht berechnet.
Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die bereinigten Gleitkommafelder in Tests und Sie erhalten reproduzierbare Behalte- und Tauscherwartungen für Hausaufgaben, Vorlesungsdemos und Edge-Worker, ohne eine eigene Wahrscheinlichkeitsbibliothek aufzubauen.
Anwendungsfälle
Kontrollen im Unterricht und bei Hausaufgaben
Lassen Sie Lernende einen geöffneten Umschlagbetrag senden und beide Erwartungswerte prüfen: Behalten gleich A, Tauschen gleich 1.25 A, mit sichtbaren Halb- und Doppelalternativen.
Artikel und Notizen zur Entscheidungstheorie
Erzeugen Sie den klassischen Vergleich 1.25 A gegen A für jeden positiven Einsatz, damit Abbildungen und Schlüssel dem gleichwahrscheinlichen Tauschmodell treu bleiben.
Häufige Fragen
Wie werden die beiden Erwartungswerte berechnet?
Bei einem positiven geöffneten Betrag A wird der andere Umschlag als A/2 oder 2A mit gleicher Wahrscheinlichkeit behandelt. E[keep] ist A. E[switch] ist 0.5×(A/2) + 0.5×(2A) = 1.25A.
Warum wirkt Tauschen besser als Behalten?
Im klassischen Modell ist die Tauscherwartung stets das 1.25-Fache des geöffneten Betrags, übertrifft also die Behalteerwartung für jedes A>0. Diese bedingungslose Empfehlung ist das Paradoxon; der Rechner berichtet beide Zahlen, statt die Debatte aufzulösen.
Was geschieht, wenn der Betrag null oder negativ ist?
Ein nichtpositiver geöffneter Betrag ist in diesem Modell kein gültiger Umschlag, daher wird die Anfrage abgelehnt und nicht berechnet.
Löst dies das Zwei-Umschläge-Paradoxon?
Nein. Es berechnet die klassische gleichwahrscheinliche Tauscharithmetik, die das Rätsel erzeugt. Auflösungen, die einen Prior auf den kleineren Betrag legen oder die Einhalb-Wahrscheinlichkeiten nach Sicht von A verneinen, gehören in den Kommentar, nicht in diesen Endpunkt.
Was passiert, wenn ich null oder einen negativen Betrag eingebe?
Der Rechner lehnt die Eingabe ab. Ein geöffneter Umschlag enthält in diesem Rätsel immer einen positiven Betrag, daher gilt null oder ein negativer Wert als Eingabefehler und nicht als Erwartungswert von null.
Wenn Tauschen besser wirkt, warum dann nicht noch einmal tauschen?
Weil dasselbe Argument auch für den anderen Umschlag gelten würde und Sie endlos tauschen müssten. Die Ausgangslage ist symmetrisch, beide Umschläge können nicht gleichzeitig die bessere Wahl sein, genau das macht das Paradoxon aus.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"amount":20}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox", {
method: "POST",
headers: {
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"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"amount": 20
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"amount":20}',
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]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"amount":20}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/two-envelopes-paradox", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"amount": 20
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.two_envelopes_paradox",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Der Vergleich ist deterministisch, zieht keine Zufallsstichproben und lehnt nichtpositive Beträge ab, damit ein Unterricht oder ein API-Client nie einen Null- oder Negativsatz als gültige Paradoxoninstanz behandelt.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Null und negative Werte scheitern ebenfalls, weil ein nichtpositiver Einsatz in diesem Modell kein gültiger geöffneter Umschlag ist und nicht als erfolgreiche Null-Erwartung behandelt werden darf. Diese Fehlschläge werden nicht berechnet. Verbinden Sie die Zahlen mit Ihrem eigenen Aufsatz oder Ihren Vorlesungsnotizen, wenn Sie die bayessche Auflösung brauchen; dieser Endpunkt ist bewusst die klassische Tauscharithmetik, kein Prior über den kleineren Betrag und kein Monte Carlo vieler Umschlagpaare. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit einer erforderlichen positiven endlichen Zahl: amount, das Geld, das Sie im geöffneten Umschlag gesehen haben. Das Feld darf als JSON-Zahl oder als numerische Zeichenkette eintreffen; die Aliasse value, a und opened werden akzeptiert und auf denselben kanonischen Betrag aufgelöst. Fehlende Felder, leere Zeichenketten, nichtnumerischer Text, Infinity und NaN scheitern mit invalid_input und nennen amount. Bei Erfolg wiederholt der Körper amount, dann other_half als A geteilt durch zwei und other_double als zweimal A, die beiden gleichwahrscheinlichen Inhalte des geschlossenen Umschlags. expected_keep ist A, der Erwartungswert des Bleibens. expected_switch ist ein Halbes mal die Hälfte plus ein Halbes mal das Doppelte, also 1.25 A. switch_advantage ist die Differenz, 0.25 A, und formula formuliert die Identität zur Anzeige neu. Beispiel: amount zwanzig liefert other_half zehn, other_double vierzig, expected_keep zwanzig, expected_switch fünfundzwanzig und switch_advantage fünf.
Wo eine API zum Zwei-Umschläge-Erwartungswert ihren Platz verdient
Prüfungsvorbereitungsgeneratoren und LMS-Erweiterungen können eine kurze Aufgabe bewerten, die die Tauscherwartung gegeben A fragt, und einen nichtpositiven Betrag als invalid_input behandeln statt als stilles Null, das ein fehlerhafter Bewerter als richtig werten könnte. Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.
Integrationsbeispiele
Automatische Bewertung in Prüfungen und LMS
Bewerten Sie Zwei-Umschläge-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, das einen nichtpositiven Betrag als invalid_input ablehnt und nie einen Erwartungswert für einen Nulleinsatz erfindet.
Technische Fragen
Was kostet der Rechner zum Zwei-Umschläge-Paradoxon?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.