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Erwartungswert Würfelwurf

Zwei sechsseitige Würfel ergeben im Mittel eine Summe von 7, bei möglichen Summen von 2 bis 12. Geben Sie Anzahl der Würfel und Seiten ein und erhalten Sie die erwartete Summe, das Mittel je Würfel und die Streuung. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

Würfel: 2
Seiten: 6

Erhalten Sie

Erwartungswert: 7
Erwartet pro Würfel: 3,5
Minimale Summe: 2
Maximale Summe: 12

Brettspiele, Pen-and-Paper-RPGs, Unterrichtseinheiten zur Wahrscheinlichkeit und Tabellen für Game Design stellen alle dieselbe einfache Frage: Wenn Sie eine gegebene Anzahl fairer Würfel mit einer gegebenen Seitenzahl werfen, welchen Gesamtwert sollten Sie im Mittel erwarten? Der Erwartungswert eines Würfelwurfs ist weder ein einzelnes Stichprobenergebnis noch die Wahrscheinlichkeit, eine Zielsumme zu treffen; er ist der langfristige Mittelwert der Summe, wenn jede Augenzahl von eins bis zur Seitenzahl gleich wahrscheinlich ist. Dieser Rechner nimmt die Anzahl der Würfel und die Seiten pro Würfel entgegen, wendet den geschlossenen Mittelwert für unabhängige faire Würfel an und liefert den erwarteten Gesamtwert zusammen mit dem Mittelwert pro Würfel, den erreichbaren Min- und Max-Summen sowie Varianz und Standardabweichung der Summe.

Was der Erwartungswert eines Würfelwurfs bedeutet

Ein einzelner fairer s-seitiger Würfel zeigt jede ganzzahlige Augenzahl von eins bis s mit Wahrscheinlichkeit eins durch s. Der erwartete Augenwert ist daher der Durchschnitt dieser Ganzzahlen: eins plus zwei bis s, alles geteilt durch s, was sich zu (s plus eins) geteilt durch zwei vereinfacht. Für einen Standard-Sechserwürfel ist dieser Mittelwert drei Komma fünf; für einen Zwanzigseiter zehn Komma fünf; für einen zweiseitigen würfelartigen Münzwurf eins Komma fünf.

Wenn Sie n unabhängige identische Würfel werfen und die Augen addieren, besagt die Linearität der Erwartung, dass der erwartete Gesamtwert genau n-mal dem erwarteten Augenwert eines Würfels entspricht, obwohl die Verteilung der Summe nicht gleichmäßig ist und obwohl die Würfel in der Spielerzählung korreliert erscheinen können. Also gilt E[sum] gleich n-mal (s plus eins) durch zwei. Diese Formel ist exakt für das klassische Modell fairer unabhängiger Würfel mit aufeinanderfolgenden Augen ab eins; sie erfordert weder das Aufzählen aller Kombinationen, dynamische Programmierung der Wege noch Monte-Carlo-Simulation.

Nutzen Sie dieses Werkzeug, wenn die Suchintention der Durchschnitt oder langfristige Mittelwert der Summe für n Würfel mit s Seiten ist, nicht wenn Sie P(Summe gleich k) benötigen.

Wo der durchschnittliche Wurf hilft

Game Designer balancieren Waffen, Zauber und Schadens-Tabellen gegen den mittleren Wurf eines Pools polyedrischer Würfel; ein einzeiliger Erwartungswert-Aufruf hält Design-Tabellen ehrlich, ohne (s plus eins) durch zwei für jede Zeile von Hand zu rechnen. Lehrkräfte und Tutoren nutzen dieselbe Formel, wenn sie die Linearität der Erwartung einführen, bevor Lernende Histogramme vieler Versuche bauen, weil der Mittelwert von zwei d6 sieben ist, lange bevor die klassische Dreiecksverteilung gezeichnet wird.

Backend-Dienste, die zufällige Belohnungen, Loot-Drops oder Brettspiel-KI-Heuristiken bepreisen, brauchen ein deterministisches Orakel, das nie mit einem Zufalls-Seed driftet und nie einen Mittelwert für null Würfel erfindet. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie bereinigte Gleitkommafelder in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Mittelwerte für Hausaufgaben, Design-Tools und Edge-Worker, ohne eine eigene Wahrscheinlichkeitsbibliothek aufzusetzen.

Anwendungsfälle

Schadensmittelwerte für Tabletop und RPG

Berechnen Sie den erwarteten Gesamtwert von Waffen-Würfelpools (zum Beispiel 2d6 oder 4d8) beim Balancieren von Kampftabellen und Charakter-Builds.

Linearität der Erwartung im Unterricht

Zeigen Sie Lernenden, dass E[Summe von n fairen Würfeln] n-mal (s+1)/2 ist, ohne zuerst alle Ergebnisse aufzuzählen.

Game Design und Loot-Heuristiken

Speisen Sie Wirtschaftssimulatoren, Loot-Modelle und KI-Nutzwerte mit deterministischen Mittelwerten, die einen Mittelwert brauchen, keine Stichprobe.

Häufige Fragen

Ist der Erwartungswert von 2d6 wirklich 7?

Ja. Jeder faire Sechsseiter hat Mittelwert 3.5, also haben zwei unabhängige Würfel erwarteten Gesamtwert 7. Die häufigste Summe ist ebenfalls 7, aber Mittelwert und Modalwert sind getrennte Konzepte; dieses Werkzeug liefert den Mittelwert.

Liefert dies die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Summe?

Nein. Dieser Rechner liefert den langfristigen Mittelwert der Summe und zugehörige Momente. Für exaktes P(Summe = Ziel) nutzen Sie stattdessen eine Würfel-Wahrscheinlichkeits-Kapazität.

Was ist der durchschnittliche Wurf eines W20?

Er beträgt 10,5, die Mitte zwischen 1 und 20. Ein sechsseitiger Würfel liefert im Mittel 3,5, ein zweiseitiger 1,5. Der Durchschnitt ist ein langfristiger Mittelwert, keine Seite, die Sie tatsächlich würfeln können.

Wie berechne ich die durchschnittliche Summe mehrerer Würfel?

Addieren Sie eins zur Seitenzahl, teilen Sie durch zwei und multiplizieren Sie mit der Zahl der Würfel. Das gilt für jede Gruppe gleicher fairer Würfel, weil sich die Mittelwerte unabhängiger Würfel einfach addieren.

Welche Summe ist mindestens und höchstens möglich?

Die kleinste Summe entspricht der Zahl der Würfel, wenn jeder eine Eins zeigt. Die größte ist Würfelzahl mal Seitenzahl, wenn jeder seine höchste Seite zeigt. Zwei sechsseitige Würfel reichen von 2 bis 12.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/stat/expected-dice-roll

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/expected-dice-roll \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"dice":2,"sides":6}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/expected-dice-roll", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "dice": 2,
    "sides": 6
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/stat/expected-dice-roll",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "dice": 2,
    "sides": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/expected-dice-roll", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"dice":2,"sides":6}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"dice":2,"sides":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/expected-dice-roll", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "dice": 2,
  "sides": 6
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "stat.expected_dice_roll",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Ungültige Werte unter eins scheitern sauber mit invalid_input, damit Automatisierung niemals Unsinn mit null Seiten oder null Würfeln als erfolgreiche Null behandelt.

Was der Erwartungswert eines Würfelwurfs bedeutet

Sie beantwortet auch keine Fragen wie die Chance, mindestens fünfzehn zu würfeln, oder die Wahrscheinlichkeitsmasse jeder Summe — dafür brauchen Sie einen anderen Wahrscheinlichkeits-Endpoint.

Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

Sehr große Werte oberhalb des dokumentierten sicheren Bereichs werden abgelehnt, damit Gleitkommaergebnisse endlich und vergleichbar bleiben. Senden Sie per POST einen JSON-Body mit zwei erforderlichen positiven Ganzzahlen: dice (Aliase n, num_dice, count) für die Anzahl der Würfel, und sides (Aliase s, faces, faces_per_die) für die Seitenzahl jedes Würfels. Beide müssen ganze Zahlen mindestens eins sein; Nullen, Negative, Nicht-Ganzzahlen, fehlende Felder, leere Zeichenketten und nicht-endliche Zahlen scheitern mit invalid_input und werden nicht berechnet. Bei Erfolg spiegelt die Antwort dice und sides wider, dann expected_value für die Gesamtsumme, expected_per_die für einen Würfel, min_sum und max_sum als Extreme, wenn jeder Würfel eins oder die höchste Augenzahl zeigt, variance und standard_deviation der Summe unter Unabhängigkeit (jeder Würfel hat Varianz (s zum Quadrat minus eins) durch zwölf, die Summe multipliziert also mit n), plus formula- und method-Zeichenketten zur Anzeige und Fehlersuche. Beispiel: zwei Würfel mit sechs Seiten ergeben expected_value sieben, expected_per_die drei Komma fünf, min_sum zwei und max_sum zwölf. Kombinieren Sie den Mittelwert mit Ihrer eigenen Simulation oder einer Wahrscheinlichkeits-Kapazität, wenn Sie auch die Chance brauchen, ein Ziel zu übertreffen; dieser Endpoint ist bewusst der analytische Mittelwert, kein Sampler und keine volle Verteilung.

Wo eine API für Würfel-Erwartungswerte Nutzen stiftet

Weil die Implementierung reines Parse-Tier-A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.

Technische Fragen

Wie berechne ich den Erwartungswert eines Würfelwurfs?

Senden Sie die positiven Ganzzahlen dice und sides. Die API liefert E[sum] = dice × (sides + 1) / 2 für faire unabhängige Würfel mit Augen 1 bis sides, plus Mittelwert pro Würfel, Min-/Max-Summe, Varianz und Standardabweichung.

Was passiert, wenn dice oder sides null oder negativ ist?

Die Aufgabe scheitert mit invalid_input. Sowohl dice als auch sides müssen mindestens eins sein; nicht-positive Werte werden abgelehnt und nicht berechnet.

Was kostet der Erwartungswert-Rechner für Würfelwürfe?

Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →

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Wo der durchschnittliche Wurf hilft

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Was der Erwartungswert eines Würfelwurfs bedeutet

Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

Wo eine API für Würfel-Erwartungswerte Nutzen stiftet

Technische Fragen

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