Würfelsummen-Wahrscheinlichkeit: jede Summe für k Würfel mit s Seiten

Wenn Sie mehrere faire Würfel werfen und die Summe interessiert, hat jede mögliche Summe ihre eigene exakte Wahrscheinlichkeit. Zwei übliche sechsseitige Würfel machen die Sieben wahrscheinlicher als die Zwei oder die Zwölf; drei Würfel verschieben die Masse wieder zur Mitte; individuelle polyedrische Würfel verändern den Bereich vollständig. Dieser Rechner nimmt die Anzahl der Würfel k und die Anzahl der Seiten s jedes Würfels, entwickelt die erzeugende Funktion (x + x² + … + x^s)^k mit deterministischer Ganzzahlarithmetik und liefert die vollständige Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion: Möglichkeiten, gekürzter Bruch und Dezimalwahrscheinlichkeit für jede erreichbare Summe von k bis k·s. Werte von k unter eins oder s unter zwei werden mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt, damit fehlerhafte Spielregeln niemals stillschweigend eine unsinnige Tabelle erzeugen.

Was die Würfelsummen-Wahrscheinlichkeit bedeutet und warum erzeugende Funktionen helfen

Ein einzelner fairer s-seitiger Würfel zeigt jede Seite von eins bis s mit gleicher Chance 1/s. Wenn Sie k unabhängige Exemplare werfen und die Seiten addieren, hat der Stichprobenraum s^k gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Die Summe reicht vom absoluten Minimum k (jeder Würfel zeigt eins) bis zum absoluten Maximum k·s (jeder Würfel zeigt seine höchste Seite).

Zwischensummen sind nicht gleich wahrscheinlich: Viele verschiedene Seitenkombinationen können dieselbe mittlere Summe ergeben, während die extremen Summen nur wenige Mikrozustände haben. Das klassische Werkzeug zum Zählen dieser Kombinationen ist die erzeugende Funktion, deren Exponenten die Summe verfolgen und deren Koeffizienten die Möglichkeiten zählen.

Ein Würfel steuert das Polynom x + x² + … + x^s bei. k unabhängige Würfel zu werfen multipliziert dieses Polynom k-mal mit sich selbst, sodass der Koeffizient von x^t in (x + x² + … + x^s)^k genau die Anzahl geordneter Ergebnisse ist, deren Seiten t ergeben. Teilen Sie diesen Koeffizienten durch s^k und Sie erhalten die exakte Wahrscheinlichkeit der Summe t. Dahinter steckt dieselbe Idee wie bei Würfeltabellen in Pen-and-Paper-Rollenspielen, Balancing-Tabellen von Brettspielen und Einführungskursen in diskrete Wahrscheinlichkeit.

Sie ist außerdem vollständig deterministisch: Bei gleichem k und s muss jede korrekte Implementierung dieselben Möglichkeiten, dieselben Brüche und dieselbe geordnete Liste von Summen liefern, sodass sich die Verteilung sicher in Tests und Lehrmaterialien festhalten lässt – ohne Monte-Carlo-Rauschen.

Wie dieser Rechner die erzeugende Funktion entwickelt

Rufen Sie die Fähigkeit mit zwei Pflicht-Ganzzahlen auf: k, die Anzahl der Würfel, und s, die Anzahl der Seiten jedes Würfels. Die Engine prüft, dass k eine Ganzzahl von eins bis vierzig und s eine Ganzzahl von zwei bis einhundert ist. Nach der Validierung startet der Kern mit der trivialen erzeugenden Funktion für null Würfel (Koeffizient eins bei Summe null) und faltet einen Würfel nach dem anderen ein, indem das aktuelle Koeffizienten-Array mit dem Seitenvektor der Länge s gefaltet wird.

Jede Faltung ist exakte BigInt-Arithmetik, sodass große Möglichkeitszahlen nie vorzeitig gerundet werden. Wenn alle k Würfel eingefaltet sind, liest die Engine die Koeffizienten von Summe k bis Summe k·s, prüft, dass sie sich zu s^k summieren, kürzt jeden Bruch Möglichkeiten/Summe mit einem Schritt zum größten gemeinsamen Teiler und gibt eine stabile Gleitkommawahrscheinlichkeit zur Anzeige aus.