Probabilidade de soma de dados: cada total para k dados de s faces

Quando você rola vários dados justos e se importa com o total, cada soma possível tem sua própria probabilidade exata. Dois dados comuns de seis faces tornam o sete mais provável que o dois ou o doze; três dados deslocam a massa novamente para o centro; dados poliédricos personalizados mudam o intervalo por completo. Esta calculadora recebe o número de dados k e o número de faces s de cada dado, expande a função geradora (x + x² + … + x^s)^k com aritmética inteira determinística e devolve a função de massa de probabilidade completa: maneiras, fração reduzida e probabilidade decimal para cada total alcançável de k até k·s. Valores de k abaixo de um ou de s abaixo de dois são rejeitados com um erro de validação claro, para que regras de jogo malformadas nunca produzam uma tabela silenciosa e sem sentido.

O que significa a probabilidade da soma de dados e por que funções geradoras ajudam

Um único dado justo de s faces mostra cada face de um a s com a mesma chance 1/s. Quando você rola k cópias independentes e soma as faces, o espaço amostral tem s^k resultados igualmente prováveis. A soma vai do mínimo absoluto k (todos os dados mostram um) ao máximo absoluto k·s (todos os dados mostram a face mais alta).

Os totais intermediários não são igualmente prováveis: muitas combinações diferentes de faces podem produzir a mesma soma central, enquanto os totais extremos têm apenas poucos microestados. A ferramenta clássica para contar essas combinações é a função geradora cujos expoentes acompanham a soma e cujos coeficientes contam as maneiras. Um dado contribui com o polinômio x + x² + … + x^s.

Rolar k dados independentes multiplica esse polinômio por ele mesmo k vezes, de modo que o coeficiente de x^t em (x + x² + … + x^s)^k é exatamente o número de resultados ordenados cujas faces somam t. Divida esse coeficiente por s^k e você obtém a probabilidade exata do total t. É a mesma ideia por trás das tabelas de dados dos RPGs de mesa, das planilhas de balanceamento de jogos de tabuleiro e dos cursos introdutórios de probabilidade discreta.

Também é totalmente determinística: dados os mesmos k e s, toda implementação correta deve produzir as mesmas maneiras, as mesmas frações e a mesma lista ordenada de totais, o que torna a distribuição segura para fixar em testes e materiais didáticos sem ruído de Monte Carlo.

Como esta calculadora expande a função geradora

Chame a capacidade com dois inteiros obrigatórios: k, o número de dados, e s, o número de faces de cada dado. O motor valida que k seja um inteiro de um a quarenta e que s seja um inteiro de dois a cem. Após a validação, o núcleo parte da função geradora trivial para zero dados (coeficiente um na soma zero) e dobra um dado por vez, convolucionando o array de coeficientes atual com o vetor de faces de comprimento s.

Cada convolução é aritmética BigInt exata, de modo que contagens grandes de maneiras nunca arredondam cedo. Quando todos os k dados foram dobrados, o motor lê os coeficientes da soma k até a soma k·s, verifica que somam s^k, reduz cada fração maneiras/total com um passo de máximo divisor comum e emite uma probabilidade de ponto flutuante estável para exibição.