Probabilidade de cara ou coroa: exatamente k caras em n lançamentos
Em dez lançamentos de uma moeda honesta saem exatamente cinco caras com probabilidade 0,24609375, porque 252 das 1024 sequências possíveis têm cinco caras. Informe os lançamentos, as caras desejadas e, se a moeda for viciada, a chance de cara. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- N
- 10
- Número exato de caras
- 5
- Potência (W)
- 0,5
- Probabilidade
- 0,24609375
- Coeficiente binomial
- 252
Lançamentos de moeda são o modelo clássico de sala de aula para ensaios de Bernoulli independentes: cada lançamento dá cara com probabilidade p e coroa com probabilidade um menos p, e a sequência de resultados não altera as chances do próximo lançamento. Quando você quer saber a chance de exatamente k caras em n lançamentos, a forma fechada correta é a função de massa de probabilidade binomial, que multiplica o número de sequências com k caras pela probabilidade de qualquer uma dessas sequências. Esta capacidade aceita o número de lançamentos n, a contagem exata de caras k e um viés opcional p (padrão um meio para moeda justa) e retorna a probabilidade, o coeficiente binomial exato como string decimal, uma string curta com a fórmula e uma marca que identifica moedas justas. Um k negativo e qualquer k maior que n são rejeitados com um erro de validação claro em vez de um zero silencioso ou uma resposta enganosa.
Como funciona a probabilidade binomial de lançamentos de moeda
Modele cada lançamento como um ensaio de Bernoulli independente com probabilidade de sucesso p igual à chance de cara em um único lançamento. Após n lançamentos independentes, o número de caras X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p. A probabilidade de observar exatamente k caras é C(n, k) vezes p elevado a k vezes (1 menos p) elevado a n menos k, onde C(n, k) é o coeficiente binomial que conta quantas sequências distintas de comprimento n contêm exatamente k caras.
Para uma moeda justa, p vale um meio, então cada sequência específica de comprimento n tem probabilidade dois elevado a menos n, e a fórmula se simplifica para C(n, k) dividido por dois elevado a n.
Verificações clássicas incluem um lançamento justo com uma cara dando probabilidade um meio; dez lançamentos justos com cinco caras dando C(10, 5) sobre 1024, que é 252 sobre 1024 ou cerca de 0.246; e uma moeda viciada com p igual a 0.7 para três caras em cinco lançamentos usando C(5, 3) vezes 0.7 ao cubo vezes 0.3 ao quadrado.
Os casos-limite importam para a correção: se p é zero, somente k igual a zero tem probabilidade um e todo k positivo tem probabilidade zero; se p é um, somente k igual a n tem sucesso; se n é zero, somente k igual a zero é possível. Esta implementação nunca usa amostragem Monte Carlo, sementes aleatórias, horário do relógio ou consultas de rede: ela calcula o coeficiente binomial exato com aritmética BigInt e avalia a probabilidade em espaço logarítmico para que os produtos intermediários permaneçam numericamente estáveis para n maiores.
Os limites declarados mantêm n de zero a mil inclusive e exigem zero menor ou igual a k menor ou igual a n, com p dentro do intervalo unitário fechado, o que é suficiente para livros didáticos, competições e testes de pipeline mantendo a latência do nível gratuito previsível.
Onde as probabilidades binomiais de moedas aparecem no trabalho real
Cursos introdutórios de estatística e matemática discreta pedem constantemente aos alunos a chance de exatamente k caras em n lançamentos, às vezes com uma moeda justa e às vezes com uma moeda viciada cuja taxa de caras não é um meio. A preparação para entrevistas e as competições de programação reutilizam a mesma função de massa ao contar padrões de bits, sequências de sucessos modeladas como ensaios independentes ou verificações de controle de qualidade que tratam cada unidade como aprovada ou reprovada com p fixo.
Cientistas de dados validam simuladores Monte Carlo e esboços de poder de experimentos A/B comparando frequências amostradas com a probabilidade binomial em forma fechada para n pequenos antes de escalar para aproximações de amostras grandes. Educadores criam gabaritos e corretores automáticos que precisam de um único valor determinístico em vez de uma simulação aleatória que mudaria entre execuções.
Designers de jogos e demonstrações de probabilidade na web costumam expor uma moeda justa como padrão, permitindo ainda um controle deslizante de viés para ensinar a dependência do pico em relação a p. Se mais tarde você precisar da distribuição acumulada P(X menor ou igual a k), quantis inversos, testes de hipótese contra um p hipotético ou geração aleatória de sequências de lançamentos, trate-os como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar esta página.
Mantenha n dentro do limite documentado para que a latência do nível gratuito continue previsível e lembre-se de que a probabilidade em ponto flutuante é ideal para ordenação e limites, enquanto o coeficiente binomial em string permanece exato para verificações combinatórias.
Casos de uso
Lição de estatística e gabaritos
Calcule probabilidades binomiais exatas para problemas de moedas justas e viciadas em matemática discreta, estatística introdutória e testes de correção automática.
Verificações de simuladores e Monte Carlo
Valide o código de amostragem contra a P(X=k) em forma fechada para n pequenos antes de confiar em simulações de moedas ou de Bernoulli em grande escala.
Preparação para entrevistas e competições
Avalie rapidamente C(n,k) p^k (1-p)^(n-k) ao praticar contagem binomial, chances de padrões de bits e problemas de ensaios independentes.
Perguntas frequentes
Qual fórmula ela usa?
A função de massa de probabilidade binomial: P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k), onde C(n,k) é o número de sequências com exatamente k caras.
E se eu omitir p?
p assume por padrão o valor 0.5, que modela uma moeda justa. Você ainda pode enviar qualquer p em [0, 1] para uma moeda viciada.
O que acontece se k for negativo ou maior que n?
O número de caras não pode ser negativo nem exceder o número de lançamentos.
O coeficiente binomial é exato?
Sim. C(n,k) é calculado com BigInt e retornado como string decimal, de modo que cada dígito é exato dentro do intervalo de n suportado.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/prob/coin-flip \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10,"k":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/prob/coin-flip", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10,
"k": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/prob/coin-flip",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10,
"k": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/prob/coin-flip", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10,"k":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10,"k":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/prob/coin-flip", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 10,
"k": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "prob.coin_flip",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
min_n | 0 |
max_n | 1000 |
min_k | 0 |
min_p | 0 |
max_p | 1 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A ferramenta gratuita do navegador e a API paga compartilham uma única função pura, de modo que demonstrações de lição de casa e testes automatizados nunca divergem com as mesmas entradas.
O que você envia e o que recebe de volta
As mensagens de erro nomeiam o campo problemático e a regra que falhou, para que formulários e scripts possam corrigir a requisição sem adivinhar. Forneça os inteiros obrigatórios n e k nos campos n e k (aliases flips, trials ou N para n; heads, successes ou K para k). Opcionalmente envie p (aliases prob_heads, probability ou bias) como um número no intervalo fechado de zero a um; quando omitido, a calculadora assume uma moeda justa com p igual a um meio. Campos obrigatórios ausentes, valores não inteiros para n ou k, decimais onde inteiros são exigidos, p fora do intervalo de zero a um, k negativo e qualquer k que exceda n são rejeitados com invalid_input e não são cobrados. Em caso de sucesso, a resposta inclui sempre n, k e p normalizados; probability como número de ponto flutuante entre zero e um; binomial_coefficient como string decimal exata de C(n, k); formula como uma string curta de exibição do produto binomial; e fair como booleano true quando p é exatamente um meio. Verificações de exemplo: n igual a dez e k igual a cinco com p padrão produz probability em torno de 0.24609375 e coeficiente 252; n igual a um e k igual a um com p igual a 0.5 produz probability 0.5; n igual a cinco e k igual a três com p igual a 0.7 produz a massa binomial viciada; n igual a dez e k igual a quinze produz invalid_input porque k excede n; n igual a oito e k igual a menos um produz invalid_input porque o número de caras não pode ser negativo. O preço das chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde as probabilidades binomiais de moedas aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.