احتمال رمي العملة
عند رمي عملة متوازنة عشر مرات تظهر خمس صور بالضبط باحتمال 0.24609375، لأن 252 من أصل 1024 تسلسلًا ممكنًا فيها خمس صور. أدخل عدد الرميات والصور المطلوبة، واحتمال الصورة إن كانت العملة غير متوازنة. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- N
- 10
- العدد الدقيق للصور
- 5
- القدرة (W)
- 0.5
- الاحتمال
- 0.24609375
- معامل ذات الحدين
- 252
رميات العملة هي النموذج الصفي الكلاسيكي لتجارب برنولي المستقلة: كل رمية تُظهر الصورة باحتمال p والكتابة باحتمال واحد ناقص p، وتسلسل النتائج لا يغيّر حظوظ الرمية التالية. عندما يهمّك ظهور الصورة k مرة بالضبط في n رمية، فإن الصيغة المغلقة الصحيحة هي دالة الكتلة الاحتمالية ذات الحدين، التي تضرب عدد التسلسلات المحتوية على k صورة في احتمال أيّ واحد من تلك التسلسلات. تقبل هذه القدرة عدد الرميات n والعدد الدقيق للصور k وانحيازًا اختياريًا p (افتراضيًا النصف لعملة عادلة)، ثم تُرجع الاحتمال ومعامل ذات الحدين الدقيق على هيئة سلسلة عشرية وسلسلة صيغة قصيرة وعلامة تشير إلى العملات العادلة. يُرفض k السالب وأي k أكبر من n برسالة تحقق واضحة بدلًا من صفر صامت أو إجابة مضللة.
كيف يعمل احتمال ذات الحدين في رمي العملة
نمذج كل رمية كتجربة برنولي مستقلة باحتمال نجاح p يساوي فرصة ظهور الصورة في رمية واحدة. بعد n رمية مستقلة، يتبع عدد الصور X توزيعًا ذا حدين بالمعلمتين n وp. واحتمال ملاحظة k صورة بالضبط هو C(n, k) مضروبًا في p أس k مضروبًا في (1 ناقص p) أس (n ناقص k)، حيث C(n, k) هو معامل ذات الحدين الذي يحصي كم تسلسلًا مختلفًا بطول n يحتوي على k صورة بالضبط.
في العملة العادلة p يساوي النصف، لذا فإن كل تسلسل محدد بطول n احتماله اثنان أس سالب n، وتُختصر الصيغة إلى C(n, k) على اثنين أس n. من الفحوص الكلاسيكية: رمية عادلة واحدة بصورة واحدة تعطي احتمال النصف؛ وعشر رميات عادلة بخمس صور تعطي C(10, 5) على 1024 أي 252 على 1024 أو نحو 0.246؛ وعملة متحيزة بـ p يساوي 0.7 لثلاث صور في خمس رميات باستخدام C(5, 3) في 0.7 تكعيبًا في 0.3 تربيعًا.
الحالات الحدية مهمة للصحة: إذا كان p صفرًا فالاحتمال واحد فقط عند k يساوي صفرًا وكل k موجب احتماله صفر؛ وإذا كان p واحدًا فلا ينجح إلا k يساوي n؛ وإذا كان n صفرًا فلا يمكن إلا k يساوي صفرًا. لا يستخدم هذا التنفيذ أخذ عينات Monte Carlo ولا بذورًا عشوائية ولا توقيت الساعة ولا استعلامات الشبكة: فهو يحسب معامل ذات الحدين الدقيق بحساب BigInt ويقيّم الاحتمال في الفضاء اللوغاريتمي كي تبقى الجداءات الوسيطة مستقرة عدديًا لقيم n الكبيرة.
تُبقي الحدود المعلنة n من صفر إلى ألف شاملةً وتشترط صفرًا أصغر من أو يساوي k أصغر من أو يساوي n مع p داخل الفترة الواحدية المغلقة، وهو ما يكفي للكتب المدرسية والمسابقات وتجهيزات خطوط المعالجة مع إبقاء زمن استجابة المستوى المجاني متوقعًا.
أين تظهر احتمالات رمي العملة ذات الحدين في العمل الفعلي
تطلب مقررات الإحصاء التمهيدي والرياضيات المتقطعة من الطلاب باستمرار فرصة ظهور k صورة بالضبط في n رمية، أحيانًا بعملة عادلة وأحيانًا بعملة مغشوشة معدل صورها ليس النصف. ويعيد التحضير للمقابلات ومسابقات البرمجة استخدام دالة الكتلة نفسها عند عدّ أنماط البتات أو سلاسل النجاحات المنمذجة كتجارب مستقلة أو فحوص الجودة التي تعامل كل وحدة كناجحة أو راسبة بقيمة p ثابتة. ويتحقق علماء البيانات من محاكيات Monte Carlo ومسودات قدرة تجارب A/B بمقارنة التكرارات المأخوذة عينةً بالاحتمال ذي الحدين المغلق الصيغة لقيم n صغيرة قبل التوسع إلى تقريب العينات الكبيرة.
ويبني المعلمون مفاتيح إجابات ومصححات آلية تحتاج قيمة حتمية واحدة بدلًا من محاكاة عشوائية تتغير بين التشغيلات. وكثيرًا ما يعرض مصممو الألعاب وعروض الاحتمالات على الويب عملة عادلة افتراضية مع السماح بمنزلق انحياز لتعليم اعتماد الذروة على p. وإذا احتجت لاحقًا إلى التوزيع التراكمي P(X أصغر من أو يساوي k) أو الكميات العكسية أو اختبارات الفرضيات مقابل p مفترض أو التوليد العشوائي لتسلسلات الرمي، فعاملها كنوايا بحث مستقلة بدلًا من إثقال هذه الصفحة.
أبقِ n ضمن الحد الموثق كي يبقى زمن استجابة المستوى المجاني متوقعًا، وتذكّر أن احتمال الفاصلة العائمة مثالي للترتيب والعتبات بينما يبقى معامل ذات الحدين النصي دقيقًا للفحوص التوافيقية.
حالات الاستخدام
واجبات الإحصاء ومفاتيح الإجابات
احسب احتمالات ذات الحدين الدقيقة لمسائل العملات العادلة والمتحيزة في الرياضيات المتقطعة والإحصاء التمهيدي وتجهيزات التصحيح الآلي.
فحوص المحاكيات وMonte Carlo
تحقق من شيفرة أخذ العينات مقابل الصيغة المغلقة P(X=k) لقيم n صغيرة قبل الوثوق بمحاكاة رمي العملات أو برنولي واسعة النطاق.
التحضير للمقابلات والمسابقات
قيّم بسرعة C(n,k) p^k (1-p)^(n-k) أثناء التدرب على العد ذي الحدين وحظوظ أنماط البتات ومسائل التجارب المستقلة.
الأسئلة الشائعة
ما الصيغة المستخدمة؟
دالة الكتلة الاحتمالية ذات الحدين: P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)، حيث C(n,k) هو عدد التسلسلات المحتوية على k صورة بالضبط.
ماذا لو أغفلت p؟
يصبح p افتراضيًا 0.5 وهو ما يمثل عملة عادلة. ولا يزال بإمكانك إرسال أي p في [0, 1] لعملة متحيزة.
ماذا يحدث إذا كان k سالبًا أو أكبر من n؟
فعدد الصور لا يمكن أن يكون سالبًا ولا أن يتجاوز عدد الرميات.
هل معامل ذات الحدين دقيق؟
نعم. يُحسب C(n,k) باستخدام BigInt ويُرجع كسلسلة عشرية بحيث يكون كل رقم دقيقًا ضمن نطاق n المدعوم.
هل يمكن حساب الاحتمال لعملة غير متوازنة؟
نعم. أدخل احتمال ظهور الصورة في الرمية الواحدة كعدد بين 0 و1، مثل 0.7، فيُحسب احتمال ظهور 3 صور بالضبط في 5 رميات بضرب C(5, 3) في 0.7 مرفوعًا إلى 3 وفي 0.3 مرفوعًا إلى 2.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/prob/coin-flip \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10,"k":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/prob/coin-flip", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10,
"k": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/prob/coin-flip",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10,
"k": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/prob/coin-flip", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10,"k":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10,"k":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/prob/coin-flip", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"n": 10,
"k": 5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "prob.coin_flip",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
min_n | 0 |
max_n | 1000 |
min_k | 0 |
min_p | 0 |
max_p | 1 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تشترك الأداة المجانية في المتصفح وواجهة API المدفوعة في دالة نقية واحدة، لذا لا تتباعد عروض الواجبات وتجهيزات الاختبارات الآلية على المدخلات نفسها أبدًا.
ما الذي ترسله وما الذي تستعيده
تسمّي رسائل الخطأ الحقل المخالف والقاعدة التي أخفقت كي تتمكن النماذج والسكربتات من تصحيح الطلب دون تخمين. قدّم العددين الصحيحين الإلزاميين n وk في الحقلين n وk (الأسماء البديلة flips أو trials أو N لـ n؛ وheads أو successes أو K لـ k). وأرسل اختياريًا p (الأسماء البديلة prob_heads أو probability أو bias) كعدد في الفترة المغلقة من صفر إلى واحد؛ وعند إغفاله تفترض الحاسبة عملة عادلة بـ p يساوي النصف. تُرفض الحقول الإلزامية المفقودة والقيم غير الصحيحة لـ n أو k والكسور العشرية حيث تُطلب الأعداد الصحيحة وp خارج الفترة من صفر إلى واحد وk السالب وأي k يتجاوز n برمز invalid_input ولا تُحتسب رسومًا. عند النجاح تتضمن الاستجابة دائمًا n وk وp المطبَّعة؛ وprobability كعدد فاصلة عائمة بين صفر وواحد؛ وbinomial_coefficient كسلسلة عشرية دقيقة لـ C(n, k)؛ وformula كسلسلة عرض قصيرة لجداء ذات الحدين؛ وfair كقيمة منطقية true عندما يساوي p النصف تمامًا. أمثلة للفحص: n يساوي عشرة وk يساوي خمسة مع p الافتراضي يعطي probability نحو 0.24609375 ومعاملًا 252؛ وn يساوي واحدًا وk يساوي واحدًا مع p يساوي 0.5 يعطي probability يساوي 0.5؛ وn يساوي خمسة وk يساوي ثلاثة مع p يساوي 0.7 يعطي كتلة ذات الحدين المتحيزة؛ وn يساوي عشرة وk يساوي خمسة عشر يعطي invalid_input لأن k يتجاوز n؛ وn يساوي ثمانية وk يساوي سالب واحد يعطي invalid_input لأن عدد الصور لا يمكن أن يكون سالبًا. سعر استدعاءات API الناجحة هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر؛ وإخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد المسبق الدفع.
أين تظهر احتمالات رمي العملة ذات الحدين في العمل الفعلي
ولأن هذه القدرة محرك parse نقي، فإن سعر API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح، والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
أسئلة تقنية
كم التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. تستخدم طلبات API رصيد KIT المسبق الدفع بمقدار $0.002 لكل عنصر ناجح؛ والمدخلات غير الصالحة لا تُحتسب رسومًا.