أعداد ستيرلنغ من النوع الثاني
احسب طرق توزيع العناصر على مجموعات غير مسماة وغير فارغة: 5 أشخاص يكوّنون فريقين بـ15 طريقة و3 فرق بـ25 طريقة، أي S(5,2) وS(5,3). مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- N
- 5
- K
- 2
- القيمة
- 15
- الكمية
- 15
تجيب أعداد ستيرلنغ من النوع الثاني عن سؤال عدّ أساسي في الرياضيات المتقطعة: بالنظر إلى n كائناً متميزاً، بكم طريقة يمكنكم تقسيمها إلى k مجموعات غير فارغة بلا تسميات بالضبط؟ تُكتب الإجابة S(n,k) أو أحياناً {n choose k} بأقواس معقوفة. تظهر هذه الأعداد كلما جمّعتم أشخاصاً في فرق دون تسمية الفرق، أو قسّمتم مجموعة مفاتيح إلى دلاء بلا تسميات، أو عددتم الدوال الشاملة حتى عامل عاملي، أو بنيتم أعداد بيل كمجموع على k، أو قيّمتم واجبات تطلب تقسيمات مجموعات لا تباديل. تقبل هذه القدرة أعداداً صحيحة غير سالبة n (عدد العناصر) وk (عدد المجموعات الجزئية غير الفارغة) وتعيد S(n,k) الدقيق كسلسلة عشرية محسوبة ببرمجة ديناميكية BigInt، فتبقى القيم البعيدة عن حدود الأعداد الصحيحة الآمنة العادية صحيحة رقماً برقماً. تُرفض المدخلات ذات k سالب أو k أكبر من n بخطأ تحقق واضح بدل صفر صامت أو إجابة خاطئة.
كيف تُعرَّف أعداد ستيرلنغ من النوع الثاني
يعدّ عدد ستيرلنغ من النوع الثاني S(n,k) تقسيمات مجموعة من n عنصراً إلى k مجموعات جزئية غير فارغة بلا تسميات بالضبط. لا يهم الترتيب داخل مجموعة جزئية، والمجموعات الجزئية نفسها غير مرتبة: التقسيم {{1,2},{3}} هو نفسه {{3},{1,2}}. التكرار القياسي هو S(n,k) = k · S(n−1,k) + S(n−1,k−1).
حدسياً، عند إضافة أحدث عنصر n، إما يشكّل مفرداً وحده (فتشكّل العناصر n−1 المتبقية k−1 مجموعات جزئية، تُعدّ بـ S(n−1,k−1))، أو ينضم إلى إحدى k المجموعات الجزئية القائمة في تقسيم أول n−1 عنصراً إلى k كتلاً (k خيارات، مضروبة في S(n−1,k)). الحالات الأساسية التي تغلق الجدول هي S(0,0) = 1، وS(n,0) = 0 لـ n > 0، وS(0,k) = 0 لـ k > 0، وS(n,1) = 1، وS(n,n) = 1. فحوصات الكتاب الكلاسيكية تشمل S(3,2) = 3، وS(4,2) = 7، وS(5,2) = 15، وS(5,3) = 25.
عدد بيل B_n، إجمالي تقسيمات n-مجموعة بأي عدد من الكتل، هو مجموع S(n,k) على k من صفر إلى n. تشمل الكائنات ذات الصلة لكن المختلفة أعداد ستيرلنغ من النوع الأول (تتبع التباديل بعدد الدورات) والمعاملات الثنائية (تختار عناصر دون تقسيم الباقي). لا تستخدم هذه التنفيذ أبداً تقريباً عشرياً عائماً ولا معاينة مونت كارلو ولا جداول خارجية: تملأ صفاً من البرمجة الديناميكية بحساب BigInt دقيق ليصح كل رقم.
المسار حتمي بالكامل — بلا بذور عشوائية ولا ساعات ولا شبكة ولا انحراف نموذج — لذا ينتج نفس n وk دائماً نفس السلسلة.
أين تظهر عدّات ستيرلنغ من النوع الثاني في العمل الحقيقي
تطرح مقررات التوافيق ومسابقات البرمجة باستمرار كم طريقة لتقسيم n أشخاص مسمّين إلى k فرقاً بلا تسميات، وكم علاقة تكافؤ على n عنصراً لها k صنفاً بالضبط، أو كم طريقة لتوزيع n هدايا متميزة في k صناديق متطابقة غير فارغة — وكلها تساوي S(n,k). يستخدم مصممو الخوارزميات جداول ستيرلنغ من النوع الثاني عند تحليل هياكل بيانات تقسيم المجموعات، أو مخططات التجميع بعدد عناقيد ثابت، أو عدّ طرق يمكن لعملية تكرارية أن تجمع بها نتائج وسيطة.
تربط مقررات الاحتمال والإحصاء S(n,k) بعدد طرق تعيين n نتائج متميزة إلى k دلاء غير فارغة بلا تسميات وبالصيغة المغلقة لعدد الدوال الشاملة من n-مجموعة إلى k-مجموعة، وهي k! · S(n,k). غالباً ما يعرض المعلمون والتحضير للمقابلات مثلثاً قصيراً لقيم S(n,k) الصغيرة؛ وحساب مدخل واحد في استدعاء واحد يبقي العروض التفاعلية متوافقة مع الكتب ومفاتيح الإجابة دون صيانة جداول كبيرة يدوياً. إذا احتجت لاحقاً أعداد ستيرلنغ من النوع الأول، أو أعداد بيل وحدها، أو عدّ شاملات بعامل k!
مطبّق مسبقاً، أو قائمة صريحة للتقسيمات بدل العدّ، عالجها كنوايا بحث منفصلة بدل إثقال هذه الصفحة.
حالات الاستخدام
واجبات ومسابقات تقسيم المجموعات
احسب S(n,k) الدقيق لمسائل الأولمبياد وتمارين الرياضيات المتقطعة ومفاتيح إجابة آلية تطلب تقسيمات بلا تسميات إلى k كتلاً.
تحليل الشاملة والتجميع
حجّم عامل التقسيم خلف الدوال الشاملة n→k ومخططات التجميع بـ k ثابت دون جداول فاصلة عائمة.
لبنات أعداد بيل
ولّد مداخل فردية من النوع الثاني عند جمع S(n,k) على k أو التحقق من خطوط أنابيب أعداد بيل مقابل مثلثات الكتب.
الأسئلة الشائعة
ما عدد ستيرلنغ من النوع الثاني؟
يعدّ S(n,k) طرق تقسيم n عناصر متميزة إلى k مجموعات جزئية غير فارغة بلا تسميات بالضبط. لا يهم الترتيب داخل المجموعات وبينها.
كيف يختلف عن النوع الأول؟
أعداد النوع الأول تعدّ التباديل بعدد الدورات. أعداد النوع الثاني تعدّ تقسيمات المجموعات بعدد الكتل. تجيبان عن أسئلة عدّ مختلفة.
ماذا يحدث إذا كان k سالباً أو أكبر من n؟
تتطلب هذه الحاسبة 0 ≤ k ≤ n؛ يُرفض k السالب أو الذي يتجاوز n ولا يُحسب.
لماذا القيمة سلسلة وليس عدداً؟
تنمو أعداد ستيرلنغ بسرعة فوق أعداد JavaScript الصحيحة الآمنة. السلاسل العشرية تحافظ على كل رقم دقيقاً لـ S(n,k) الكبيرة.
ما علاقة هذه الأعداد بأعداد بيل؟
عدد بيل يحسب كل طرق تقسيم مجموعة إلى مجموعات جزئية أيًا كان عددها. ويُحصل عليه بجمع أعداد ستيرلنغ من النوع الثاني لكل قيم k من صفر إلى n.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/combo/stirling-second \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5,"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/combo/stirling-second", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5,
"k": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/combo/stirling-second",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5,
"k": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/combo/stirling-second", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5,"k":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5,"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/combo/stirling-second", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"n": 5,
"k": 2
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "combo.stirling_second",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
min_n | 0 |
max_n | 1000 |
min_k | 0 |
max_k | 1000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تشترك أداة المتصفح المجانية وواجهة API المدفوعة في دالة نقية واحدة، فلا تختلف عروض الفصل وخطوط الأنابيب الآلية حول نفس الزوج أبداً.
كيف تُعرَّف أعداد ستيرلنغ من النوع الثاني
تحافظ الحدود المعلنة على n وk بين صفر وألف مع قاعدة ألا يتجاوز k قيمة n، مما يبقي زمن الاستجابة الأسوأ مناسباً لأداة مجانية في المتصفح ومسار Worker خفيف مع تغطية احتياجات المسابقات والفصول وخطوط الأنابيب لعدّ تقسيمات دقيق.
ما ترسله وما تستقبله
يجب أن يكون عدد العناصر n عدداً صحيحاً من صفر إلى ألف شاملاً؛ وعدد المجموعات الجزئية k عدداً صحيحاً من صفر إلى ألف شاملاً ويحقق k ≤ n. تسمّي رسائل الخطأ الحقل المخالف والقاعدة التي فشلت حتى يصحح العملاء والنصوص الإدخال دون تخمين. عند النجاح تتضمن الاستجابة دائماً n وk المطبّعين، وvalue وcount كنفس السلسلة العشرية الدقيقة لـ S(n,k)، وسلسلة صيغة قصيرة مثل S(5,2) للعرض. وصّل أداة المتصفح المجانية للواجبات والتحقق السريع، ثم استدعِ العقد نفسه من النصوص عند الحاجة إلى توليد جماعي لتجهيزات عدّ التقسيمات. قدّم عدداً صحيحاً n مطلوباً في الحقل n (أسماء بديلة items أو size) وعدداً صحيحاً k مطلوباً في الحقل k (أسماء بديلة subsets أو parts). تُرفض الحقول الناقصة وغير الصحيحة والكسرية وn السالب وk السالب وأي k يتجاوز n بـ invalid_input ولا تُحسب. فحوصات مثال: n يساوي خمسة وk يساوي اثنين ينتج العدّ خمسة عشر؛ n يساوي خمسة وk يساوي ثلاثة ينتج خمسة وعشرين؛ n يساوي ثلاثة وk يساوي واحداً ينتج واحداً؛ n يساوي أربعة وk يساوي أربعة ينتج واحداً؛ n يساوي صفراً وk يساوي صفراً ينتج واحداً؛ k يساوي ستة مع n يساوي ثلاثة ينتج invalid_input لأن k يتجاوز n؛ k يساوي سالب واحد ينتج invalid_input. العقد JSON مستقر مناسب لاختبارات الوحدة وعروض الفصل وخطوط الأنابيب بالدفعات. تسعير استدعاءات API الناجحة هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر؛ ولا تستهلك إخفاقات التحقق الرصيد المدفوع مسبقاً.
أين تظهر عدّات ستيرلنغ من النوع الثاني في العمل الحقيقي
لأن هذه القدرة محرك parse نقي، تسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح ولا يستهلك فشل التحقق الرصيد.
أسئلة تقنية
ما التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقاً بـ $0.002 لكل عنصر ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحسب.