Probabilidad al lanzar monedas: exactamente k caras en n lanzamientos
Al lanzar diez veces una moneda equilibrada salen exactamente cinco caras con probabilidad 0,24609375, porque 252 de las 1024 secuencias posibles tienen cinco caras. Indique lanzamientos, caras buscadas y, si la moneda está trucada, su probabilidad de cara. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 10
- Número exacto de caras
- 5
- Potencia (W)
- 0,5
- Probabilidad
- 0,24609375
- Coeficiente binomial
- 252
Los lanzamientos de moneda son el modelo clásico de aula de ensayos de Bernoulli independientes: cada lanzamiento sale cara con probabilidad p y cruz con probabilidad uno menos p, y la secuencia de resultados no altera las probabilidades del siguiente lanzamiento. Cuando le interesa obtener exactamente k caras en n lanzamientos, la forma cerrada correcta es la función de masa de probabilidad binomial, que multiplica el número de secuencias con k caras por la probabilidad de cualquiera de esas secuencias. Esta capacidad acepta el número de lanzamientos n, el número exacto de caras k y un sesgo opcional p (por defecto un medio para una moneda equilibrada), y devuelve la probabilidad, el coeficiente binomial exacto como cadena decimal, una cadena breve con la fórmula y una marca que identifica las monedas equilibradas. Un k negativo y cualquier k mayor que n se rechazan con un error de validación claro en lugar de un cero silencioso o una respuesta engañosa.
Cómo funciona la probabilidad binomial de los lanzamientos de moneda
Modele cada lanzamiento como un ensayo de Bernoulli independiente con probabilidad de éxito p igual a la probabilidad de cara en un solo lanzamiento. Tras n lanzamientos independientes, el número de caras X sigue una distribución binomial con parámetros n y p. La probabilidad de observar exactamente k caras es C(n, k) multiplicado por p elevado a k y por (1 menos p) elevado a n menos k, donde C(n, k) es el coeficiente binomial que cuenta cuántas secuencias distintas de longitud n contienen exactamente k caras.
Para una moneda equilibrada, p vale un medio, por lo que cada secuencia concreta de longitud n tiene probabilidad dos elevado a menos n, y la fórmula se simplifica a C(n, k) entre dos elevado a n.
Las comprobaciones clásicas incluyen un lanzamiento equilibrado con una cara, que da probabilidad un medio; diez lanzamientos equilibrados con cinco caras, que da C(10, 5) entre 1024, es decir 252 entre 1024 o alrededor de 0.246; y una moneda sesgada con p igual a 0.7 para tres caras en cinco lanzamientos, usando C(5, 3) por 0.7 al cubo por 0.3 al cuadrado.
Los casos límite importan para la corrección: si p es cero, solo k igual a cero tiene probabilidad uno y todo k positivo tiene probabilidad cero; si p es uno, solo k igual a n tiene éxito; si n es cero, solo k igual a cero es posible.
Esta implementación nunca usa muestreo Monte Carlo, semillas aleatorias, hora del reloj ni consultas en red: calcula el coeficiente binomial exacto con aritmética BigInt y evalúa la probabilidad en espacio logarítmico para que los productos intermedios se mantengan numéricamente estables con n grandes. Los límites declarados mantienen n de cero a mil inclusive y exigen cero menor o igual que k menor o igual que n, con p dentro del intervalo unitario cerrado, suficiente para libros de texto, concursos y pruebas de procesos manteniendo predecible la latencia del nivel gratuito.
Dónde aparecen las probabilidades binomiales de monedas en el trabajo real
Los cursos de estadística introductoria y matemática discreta piden constantemente a los estudiantes la probabilidad de exactamente k caras en n lanzamientos, a veces con una moneda equilibrada y a veces con una moneda cargada cuya tasa de caras no es un medio. La preparación de entrevistas y los concursos de programación reutilizan la misma función de masa al contar patrones de bits, rachas de éxitos modeladas como ensayos independientes o controles de calidad que tratan cada unidad como aprobada o fallida con p fijo.
Los científicos de datos validan simuladores Monte Carlo y esbozos de potencia de experimentos A/B comparando las frecuencias muestreadas con la probabilidad binomial en forma cerrada para n pequeños antes de escalar a aproximaciones de muestras grandes. Los educadores crean claves de respuestas y calificadores automáticos que necesitan un único valor determinista en lugar de una simulación aleatoria que cambiaría entre ejecuciones.
Los diseñadores de juegos y las demostraciones de probabilidad en la web suelen ofrecer una moneda equilibrada por defecto y a la vez permitir un control deslizante de sesgo para enseñar la dependencia del pico respecto a p. Si más adelante necesita la distribución acumulada P(X menor o igual que k), cuantiles inversos, pruebas de hipótesis contra un p hipotético o generación aleatoria de secuencias de lanzamientos, trátelos como intenciones de búsqueda separadas en lugar de sobrecargar esta página.
Mantenga n dentro del límite documentado para que la latencia del nivel gratuito siga siendo predecible, y recuerde que la probabilidad en punto flotante es ideal para ordenar y aplicar umbrales, mientras el coeficiente binomial en cadena permanece exacto para comprobaciones combinatorias.
Qué puede hacer con ella
Tareas de estadística y claves de respuestas
Calcule probabilidades binomiales exactas para problemas de monedas equilibradas y sesgadas en matemática discreta, estadística introductoria y pruebas de calificación automática.
Verificaciones de simuladores y Monte Carlo
Valide el código de muestreo contra la P(X=k) en forma cerrada para n pequeños antes de confiar en simulaciones de monedas o de Bernoulli a gran escala.
Preparación de entrevistas y concursos
Evalúe rápidamente C(n,k) p^k (1-p)^(n-k) al practicar conteo binomial, probabilidades de patrones de bits y problemas de ensayos independientes.
Preguntas frecuentes
¿Qué fórmula utiliza?
La función de masa de probabilidad binomial: P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k), donde C(n,k) es el número de secuencias con exactamente k caras.
¿Qué ocurre si omito p?
p toma por defecto el valor 0.5, que modela una moneda equilibrada. Aun así puede enviar cualquier p en [0, 1] para una moneda sesgada.
¿Qué pasa si k es negativo o mayor que n?
El número de caras no puede ser negativo ni superar el número de lanzamientos.
¿El coeficiente binomial es exacto?
Sí. C(n,k) se calcula con BigInt y se devuelve como cadena decimal, de modo que cada dígito es exacto dentro del rango de n admitido.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta localmente.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
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}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
min_n | 0 |
max_n | 1000 |
min_k | 0 |
min_p | 0 |
max_p | 1 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La herramienta gratuita del navegador y la API de pago comparten una única función pura, de modo que las demostraciones de tareas y las pruebas automatizadas nunca divergen con las mismas entradas.
Qué envía y qué recibe de vuelta
Los mensajes de error nombran el campo problemático y la regla que falló, de modo que los formularios y los scripts puedan corregir la solicitud sin adivinar. Proporcione los enteros obligatorios n y k en los campos n y k (alias flips, trials o N para n; heads, successes o K para k). Opcionalmente envíe p (alias prob_heads, probability o bias) como un número en el intervalo cerrado de cero a uno; si se omite, la calculadora asume una moneda equilibrada con p igual a un medio. Los campos obligatorios ausentes, valores no enteros para n o k, decimales donde se exigen enteros, p fuera del rango de cero a uno, k negativo y cualquier k que exceda n se rechazan con invalid_input y no se cobran. En caso de éxito, la respuesta incluye siempre n, k y p normalizados; probability como número de punto flotante entre cero y uno; binomial_coefficient como cadena decimal exacta de C(n, k); formula como una cadena breve de visualización del producto binomial; y fair como booleano true cuando p es exactamente un medio. Comprobaciones de ejemplo: n igual a diez y k igual a cinco con p por defecto da probability alrededor de 0.24609375 y coeficiente 252; n igual a uno y k igual a uno con p igual a 0.5 da probability 0.5; n igual a cinco y k igual a tres con p igual a 0.7 da la masa binomial sesgada; n igual a diez y k igual a quince da invalid_input porque k excede n; n igual a ocho y k igual a menos uno da invalid_input porque el número de caras no puede ser negativo. El precio de las llamadas API exitosas es la base publicada de $0.002 por elemento; los fallos de validación no consumen saldo prepagado.
Dónde aparecen las probabilidades binomiales de monedas en el trabajo real
Como esta capacidad es un motor de parse puro, el precio de la API es la base publicada de $0.002 por elemento exitoso y la validación fallida no consume saldo.