احتمال مجموع النرد: كل ناتج لعدد k من النرد ذي s وجهًا

عندما ترمي عدة أحجار نرد عادلة ويهمك المجموع، فإن لكل مجموع ممكن احتمالًا دقيقًا خاصًا به. فحجرا النرد القياسيان سداسيا الأوجه يجعلان السبعة أرجح من الاثنين أو الاثني عشر، وثلاثة أحجار تنقل الكتلة نحو الوسط مجددًا، أما النرد المتعدد الأوجه المخصص فيغيّر النطاق كليًا. تأخذ هذه الآلة الحاسبة عدد أحجار النرد k وعدد الأوجه s في كل حجر، وتفكّ الدالة المولِّدة (x + x² + … + x^s)^k بحساب صحيح حتمي، وتُعيد دالة الكتلة الاحتمالية الكاملة: عدد الطرق والكسر المختزل والاحتمال العشري لكل مجموع ممكن البلوغ من k حتى k·s. أما قيم k الأدنى من واحد أو s الأدنى من اثنين فتُرفض برسالة تحقق واضحة، حتى لا تُنتج قواعد اللعبة المعيبة جدولًا لا معنى له في صمت.

ماذا يعني احتمال مجموع النرد ولماذا تفيد الدوال المولِّدة

إن حجر نرد عادلًا واحدًا ذا s وجهًا يُظهر كل وجه من واحد إلى s بالفرصة نفسها 1/s. وعندما ترمي k نسخة مستقلة وتجمع الأوجه، يحتوي فضاء العينة على s^k نتيجة متساوية الاحتمال. يتراوح المجموع من الحد الأدنى المطلق k (كل حجر يُظهر واحدًا) إلى الحد الأقصى المطلق k·s (كل حجر يُظهر أعلى أوجهه).

والمجاميع الوسطى ليست متساوية الاحتمال: إذ يمكن لتركيبات كثيرة مختلفة من الأوجه أن تُنتج المجموع الأوسط نفسه، بينما لا تملك المجاميع الطرفية إلا بضع حالات مجهرية. والأداة الكلاسيكية لعدّ تلك التركيبات هي الدالة المولِّدة التي تتبع أسُسُها المجموعَ وتعدّ معامِلاتُها الطرق. يسهم الحجر الواحد بكثيرة الحدود x + x² + … + x^s.

ورمي k من النرد المستقل يضرب تلك الكثيرة في نفسها k مرة، ومن ثم فإن معامِل x^t في (x + x² + … + x^s)^k هو بالضبط عدد النتائج المرتَّبة التي يبلغ مجموع أوجهها t. اقسم ذلك المعامِل على s^k فتحصل على الاحتمال الدقيق للمجموع t. وهذه هي الفكرة نفسها الكامنة وراء جداول النرد في ألعاب تقمص الأدوار، وأوراق موازنة ألعاب الطاولة، ومقررات الاحتمالات المنفصلة التمهيدية.

وهي أيضًا حتمية تمامًا: فبالنظر إلى k وs نفسيهما، يجب أن يُنتج أي تطبيق صحيح الطرق نفسها والكسور نفسها والقائمة المرتبة نفسها من المجاميع، مما يجعل التوزيع آمنًا للتثبيت في الاختبارات والمواد التعليمية دون ضجيج Monte Carlo.

كيف تفكّ هذه الآلة الحاسبة الدالة المولِّدة

نادِ القدرة بعددين صحيحين إلزاميين: k عدد أحجار النرد، وs عدد أوجه كل حجر. يتحقق المحرك من أن k عدد صحيح من واحد إلى أربعين وأن s عدد صحيح من اثنين إلى مئة. بعد التحقق، يبدأ النواةُ من الدالة المولِّدة البديهية لصفر من النرد (معامِل واحد عند المجموع صفر) ويطوي حجرًا واحدًا في كل مرة عبر لفّ مصفوفة المعامِلات الحالية مع متجه الأوجه ذي الطول s.

كل عملية لفّ هي حساب BigInt دقيق، فلا تُقرَّب أعداد الطرق الكبيرة قبل أوانها أبدًا. وحين تُطوى أحجار النرد k كلها، يقرأ المحرك المعامِلات من المجموع k حتى المجموع k·s، ويتحقق من أنها تجمع إلى s^k، ويختزل كل كسر «طرق/إجمالي» بخطوة القاسم المشترك الأكبر، ويصدر احتمالًا عشريًا مستقرًا للعرض.