Probabilité de somme de dés : chaque total pour k dés à s faces

Lorsque vous lancez plusieurs dés équitables et que le total vous intéresse, chaque somme possible possède sa propre probabilité exacte. Deux dés classiques à six faces rendent le sept plus probable que le deux ou le douze ; trois dés déplacent à nouveau la masse vers le centre ; des dés polyédriques personnalisés changent entièrement la plage. Cette calculatrice prend le nombre de dés k et le nombre de faces s de chaque dé, développe la fonction génératrice (x + x² + … + x^s)^k avec une arithmétique entière déterministe et renvoie la fonction de masse de probabilité complète : façons, fraction réduite et probabilité décimale pour chaque total atteignable de k à k·s. Les valeurs de k inférieures à un ou de s inférieures à deux sont rejetées avec une erreur de validation claire, afin que des règles de jeu mal formées ne produisent jamais une table absurde en silence.

Ce que signifie la probabilité de la somme de dés et pourquoi les fonctions génératrices aident

Un seul dé équitable à s faces montre chaque face de un à s avec la même chance 1/s. Lorsque vous lancez k copies indépendantes et additionnez les faces, l'espace d'échantillonnage compte s^k issues également probables. La somme va du minimum absolu k (chaque dé montre un) au maximum absolu k·s (chaque dé montre sa face la plus haute).

Les totaux intermédiaires ne sont pas également probables : de nombreuses combinaisons de faces différentes peuvent produire la même somme centrale, tandis que les totaux extrêmes n'ont que quelques micro-états. L'outil classique pour compter ces combinaisons est la fonction génératrice dont les exposants suivent la somme et dont les coefficients comptent les façons. Un dé apporte le polynôme x + x² + … + x^s.

Lancer k dés indépendants multiplie ce polynôme par lui-même k fois, de sorte que le coefficient de x^t dans (x + x² + … + x^s)^k est exactement le nombre d'issues ordonnées dont les faces totalisent t. Divisez ce coefficient par s^k et vous obtenez la probabilité exacte du total t. C'est la même idée qui sous-tend les tables de dés des jeux de rôle, les feuilles d'équilibrage des jeux de société et les cours d'introduction à la probabilité discrète.

Elle est aussi entièrement déterministe : pour les mêmes k et s, toute implémentation correcte doit produire les mêmes façons, les mêmes fractions et la même liste ordonnée de totaux, ce qui rend la distribution sûre à figer dans des tests et des supports pédagogiques sans bruit de Monte Carlo.

Comment cette calculatrice développe la fonction génératrice

Appelez la capacité avec deux entiers obligatoires : k, le nombre de dés, et s, le nombre de faces de chaque dé. Le moteur valide que k est un entier de un à quarante et que s est un entier de deux à cent. Après validation, le cœur part de la fonction génératrice triviale pour zéro dé (coefficient un à la somme zéro) et plie un dé à la fois en convoluant le tableau de coefficients courant avec le vecteur de faces de longueur s.

Chaque convolution est une arithmétique BigInt exacte, de sorte que les grands comptages de façons ne s'arrondissent jamais prématurément. Une fois les k dés pliés, le moteur lit les coefficients de la somme k à la somme k·s, vérifie qu'ils totalisent s^k, réduit chaque fraction façons/total par une étape de plus grand commun diviseur et émet une probabilité flottante stable pour l'affichage.