Probabilidad de suma de dados: cada total para k dados de s caras

Cuando usted lanza varios dados justos y le interesa el total, cada suma posible tiene su propia probabilidad exacta. Dos dados estándar de seis caras hacen que el siete sea más probable que el dos o el doce; tres dados desplazan de nuevo la masa hacia el centro; los dados poliédricos personalizados cambian el rango por completo. Esta calculadora toma el número de dados k y el número de caras s de cada dado, expande la función generadora (x + x² + … + x^s)^k con aritmética entera determinista y devuelve la función de masa de probabilidad completa: formas, fracción reducida y probabilidad decimal para cada total alcanzable desde k hasta k·s. Los valores de k menores que uno o de s menores que dos se rechazan con un error de validación claro, de modo que las reglas de juego mal formadas nunca produzcan una tabla silenciosa y sin sentido.

Qué significa la probabilidad de la suma de dados y por qué ayudan las funciones generadoras

Un solo dado justo de s caras muestra cada cara del uno al s con la misma probabilidad 1/s. Cuando usted lanza k copias independientes y suma las caras, el espacio muestral tiene s^k resultados igualmente probables. La suma va desde el mínimo absoluto k (todos los dados muestran uno) hasta el máximo absoluto k·s (todos los dados muestran su cara más alta).

Los totales intermedios no son igualmente probables: muchas combinaciones distintas de caras pueden producir la misma suma central, mientras que los totales extremos solo tienen unos pocos microestados. La herramienta clásica para contar esas combinaciones es la función generadora cuyos exponentes siguen la suma y cuyos coeficientes cuentan las formas. Un dado aporta el polinomio x + x² + … + x^s.

Lanzar k dados independientes multiplica ese polinomio por sí mismo k veces, de modo que el coeficiente de x^t en (x + x² + … + x^s)^k es exactamente el número de resultados ordenados cuyas caras suman t. Divida ese coeficiente entre s^k y obtendrá la probabilidad exacta del total t. Es la misma idea que hay detrás de las tablas de dados de los juegos de rol, las hojas de equilibrio de los juegos de mesa y los cursos introductorios de probabilidad discreta.

Además es totalmente determinista: dados los mismos k y s, toda implementación correcta debe producir las mismas formas, las mismas fracciones y la misma lista ordenada de totales, lo que hace segura la distribución para fijarla en pruebas y materiales didácticos sin ruido de Monte Carlo.

Cómo expande esta calculadora la función generadora

Llame a la capacidad con dos enteros obligatorios: k, el número de dados, y s, el número de caras de cada dado. El motor valida que k sea un entero de uno a cuarenta y que s sea un entero de dos a cien. Tras la validación, el núcleo parte de la función generadora trivial para cero dados (coeficiente uno en la suma cero) y pliega un dado cada vez convolucionando el array de coeficientes actual con el vector de caras de longitud s.

Cada convolución es aritmética BigInt exacta, de modo que los recuentos grandes de formas nunca se redondean antes de tiempo. Cuando se han plegado los k dados, el motor lee los coeficientes desde la suma k hasta la suma k·s, comprueba que suman s^k, reduce cada fracción formas/total con un paso de máximo común divisor y emite una probabilidad flotante estable para mostrar.