Probabilità somma dadi: ogni totale per k dadi a s facce

Quando Lei lancia diversi dadi equi e Le interessa il totale, ogni somma possibile ha la sua probabilità esatta. Due dadi standard a sei facce rendono il sette più probabile del due o del dodici; tre dadi spostano di nuovo la massa verso il centro; dadi poliedrici personalizzati cambiano del tutto l'intervallo. Questa calcolatrice prende il numero di dadi k e il numero di facce s di ciascun dado, espande la funzione generatrice (x + x² + … + x^s)^k con aritmetica intera deterministica e restituisce la funzione di massa di probabilità completa: modi, frazione ridotta e probabilità decimale per ogni totale raggiungibile da k a k·s. Valori di k inferiori a uno o di s inferiori a due vengono rifiutati con un errore di validazione chiaro, così che regole di gioco mal formate non producano mai una tabella assurda in silenzio.

Cosa significa la probabilità della somma dei dadi e perché le funzioni generatrici aiutano

Un singolo dado equo a s facce mostra ogni faccia da uno a s con la stessa probabilità 1/s. Quando Lei lancia k copie indipendenti e somma le facce, lo spazio campionario ha s^k esiti equiprobabili. La somma va dal minimo assoluto k (ogni dado mostra uno) al massimo assoluto k·s (ogni dado mostra la faccia più alta).

I totali intermedi non sono equiprobabili: molte combinazioni diverse di facce possono produrre la stessa somma centrale, mentre i totali estremi hanno solo pochi microstati. Lo strumento classico per contare quelle combinazioni è la funzione generatrice i cui esponenti seguono la somma e i cui coefficienti contano i modi. Un dado contribuisce con il polinomio x + x² + … + x^s.

Lanciare k dadi indipendenti moltiplica quel polinomio per sé stesso k volte, quindi il coefficiente di x^t in (x + x² + … + x^s)^k è esattamente il numero di esiti ordinati le cui facce sommano t. Divida quel coefficiente per s^k e otterrà la probabilità esatta del totale t. È la stessa idea alla base delle tabelle dei dadi nei giochi di ruolo, dei fogli di bilanciamento dei giochi da tavolo e dei corsi introduttivi di probabilità discreta.

È anche completamente deterministica: dati gli stessi k e s, ogni implementazione corretta deve produrre gli stessi modi, le stesse frazioni e la stessa lista ordinata di totali, il che rende la distribuzione sicura da fissare nei test e nei materiali didattici senza rumore di Monte Carlo.

Come questa calcolatrice espande la funzione generatrice

Chiami la capacità con due interi obbligatori: k, il numero di dadi, e s, il numero di facce di ciascun dado. Il motore valida che k sia un intero da uno a quaranta e che s sia un intero da due a cento. Dopo la validazione, il nucleo parte dalla funzione generatrice banale per zero dadi (coefficiente uno alla somma zero) e ripiega un dado alla volta convolvendo l'array di coefficienti corrente con il vettore delle facce di lunghezza s.

Ogni convoluzione è aritmetica BigInt esatta, quindi i conteggi grandi dei modi non si arrotondano mai in anticipo. Quando tutti i k dadi sono stati ripiegati, il motore legge i coefficienti dalla somma k alla somma k·s, verifica che sommino a s^k, riduce ogni frazione modi/totale con un passaggio di massimo comune divisore ed emette una probabilità in virgola mobile stabile per la visualizzazione.