Bit Thue-Morse

Esta capacidade aceita n, devolve a string binária, a contagem de uns e o único bit de Thue-Morse t(n), e rejeita n negativo com invalid_input para que corretores automáticos nunca tratem um índice negativo como posição válida da sequência.

O que é o bit de Thue-Morse e por que popcount mod 2 o define

Quando você precisar do bit para um valor concreto de lição de casa — por exemplo n igual a sete, binário um-um-um, três uns, paridade um — este endpoint devolve esse bit junto com a string binária intermediária e a contagem de uns para que os alunos possam auditar a paridade passo a passo.

Contrato de entrada, campos de resposta e comportamento de erro

Envie por POST um corpo JSON com um único campo obrigatório n: um inteiro não negativo, como número JSON ou como string de dígitos decimais que caiba em inteiros seguros de JavaScript. n ausente, strings vazias, não inteiros, números não finitos e valores fora da faixa de inteiros seguros falham com invalid_input indicando o problema. n negativo falha com uma mensagem clara de que n deve ser não negativo; essas falhas de validação não são cobradas. Em caso de sucesso o corpo ecoa n, fornece binary como a string em base dois sem o prefixo 0b (zero produz o único caractere 0), ones_count como o número de bits iguais a um, thue_morse_bit como 0 ou 1, e uma string formula curta reafirmando t(n) igual a popcount(n) mod 2. Exemplo: n igual a sete produz binary 111, ones_count três e thue_morse_bit um. Exemplo: n igual a zero produz binary 0, ones_count zero e thue_morse_bit zero. Exemplo: n igual a três produz binary 11, ones_count dois e thue_morse_bit zero. Clientes que só precisam do bit podem ignorar os campos de diagnóstico; tutores e corretores podem exibir binary e ones_count ao lado da resposta para que os alunos vejam por que a paridade mudou. A implementação é parse pura de nível A: sem rede, sem tokens de modelo, sem sistema de arquivos, e o mesmo módulo pode rodar no caminho gratuito do navegador e no Worker de borda sem divergir resultados.

Onde uma API do bit de Thue-Morse agrega valor

Demonstrações de teoria de códigos e sinal digital às vezes amostram bits de Thue-Morse como fonte binária aperiódica determinística para ilustrar discrepância ou analogias de dobradura de papel. Cursos de combinatória e matemática discreta usam a sequência de Thue-Morse ao ensinar sequências automáticas, morfismos e palavras livres de cubos; uma API pequena permite que plugins LMS verifiquem respostas de alunos para n arbitrário sem enviar um pacote simbólico completo. Cadernos de pesquisa que precisam de um oráculo rápido de t(n) ao explorar constantes de dobradura ou somas relacionadas a Prouhet–Thue–Morse podem chamar este endpoint em vez de colar truques de bits ad hoc que divergem em zero e em inteiros seguros grandes. Como cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída, a validação falha não consome saldo, e o algoritmo é um punhado de operações de bits, você obtém bits reproduzíveis para lições, correção e workers de borda sem montar infraestrutura mais pesada de teoria dos números. Mantenha as requisições pequenas, documente que n é um inteiro seguro não negativo e trate thue_morse_bit como o campo canônico de resposta para verificações automáticas.