ベルトランのパラドックス

ベルトランのパラドックスは、「無作為な弦」という言い回しが、選び方を決めるまで単一の確率を指さないことを示す古典的な実例です。正の半径を持つ円が与えられると、その円に内接する正三角形の辺の長さは一意に定まります。この計算機は、歴史的な三つのベルトランの方法、すなわち円周上の無作為な端点、無作為な半径上の無作為な点、円板から一様に取った中点のいずれかのもとで、無作為な弦がその辺より厳密に長くなる確率を返します。幾何学的な測度は半径と選んだ方法から閉形式で評価され、サンプリングも言語モデルも使いません。正でない半径は無効な入力として拒否されます。その場合、比較すべき円も内接三角形も存在しないからです。

ベルトランのパラドックスが問うものと、答えが三つ現れる理由

Joseph Bertrand は 1889 年に、一見短い問いを立てました。円の中に無作為に弦を引くとき、その弦が同じ円に内接する正三角形の辺より長くなる確率はいくらか。辺の長さそのものに曖昧さはありません。

半径 r の円では、内接正三角形の辺は r に三の平方根を掛けた値になります。各中心角が百二十度であり、弦の公式である二 r に角の半分の正弦を掛けたものが、ちょうど r に根号三を掛けた値へ落ちるからです。中点が中心から距離 d にある弦の長さは、r の二乗から d の二乗を引いたものの平方根の二倍です。

したがって、その辺を超えるのは d が r の半分より小さいときに限ります。難しいのは比較ではなく、「無作為」の意味です。弦を選ぶ自然な手続きが違えば、中点や端点の空間に入る測度が違い、同じ幾何学的事象に対して異なる確率が出ます。

Bertrand は同じように公正に見える三つの手続きを示し、三分の一、二分の一、四分の一を得ました。パラドックスは、三つの数のどれかを誤りと宣言するのではなく、測度に名前を付けることで解けます。この計算機はその解決をまじめに扱います。

方法を選んでいただければ、対応する測度を評価し、無作為な弦が内接三角形の辺を超える確率を返します。

この計算機が入力を検証し、三つの測度を評価する仕組み

radius は円の半径で、厳密に正の有限数でなければなりません。正でない半径は円を定めず、したがって内接三角形も定めないからです。エンジンはまず内接三角形の辺 s を r に三の平方根を掛けた値として求め、臨界の中点距離 d-star を、r の二乗から s の半分の二乗を引いたものの平方根として求めます。

これは r の半分に簡約されます。弦が s を超えるのは中心角が二 pi の三分の一から四 pi の三分の一の開区間にあるときで、好都合な弧を全周で割ると三分の一になります。radial では半径を一つ選び、その上で一様に点を取り、それを垂線の弦の中点とします。

好都合な区間の長さは d-star なので、確率は二分の一です。midpoint では中点は円板上一様です。好都合な集合は半径 d-star の同心円板なので、確率は面積比の四分の一です。

実務での使い方、スケール不変性、料金、提供チャネル

幾何学的確率を教えるとき、Bertrand の三方法についての教科書の主張を確かめるとき、「無作為な弦を取れ」という指示が測度に名前が付くまで不完全だと示すときは、ブラウザツールをご利用ください。半径は任意の正の有限数で構いません。三つの確率は具体的な半径に依存しません。

これは各測度のスケール不変性の定理です。結果は完全に決定的です。同じ半径と同じ方法は、常に同じ確率、同じ辺、同じ臨界距離を返します。

言語モデルも外部の幾何サービスも弦の無作為抽出もないため、この機能は継続的インテグレーションの検査や再現可能な教材に安全に固定できます。