Paradoja de Bertrand: cuerda al azar y lado del triángulo

Cómo esta calculadora valida la entrada y evalúa las tres medidas

Invoque la capacidad con dos campos obligatorios. radius es el radio del círculo: un número finito que debe ser estrictamente positivo. El motor calcula primero el lado del triángulo inscrito s, igual a r por la raíz cuadrada de tres, y la distancia crítica del punto medio d-star, igual a la raíz de r al cuadrado menos s entre dos al cuadrado, que se simplifica a r entre dos. Con radial se elige un radio y se toma un punto de forma uniforme a lo largo de él como punto medio de la cuerda perpendicular: el segmento favorable tiene longitud d-star, así que la probabilidad es un medio. Con midpoint el punto medio es uniforme en el disco: el conjunto favorable es el disco concéntrico de radio d-star, así que la probabilidad es la razón de áreas de un cuarto. El cero, los valores negativos, NaN y los infinitos fallan con invalid_input y no se cobran, porque un radio no positivo no define un círculo y, por tanto, tampoco un triángulo inscrito. Se aceptan los alias r, R y circle_radius. method es uno de tres valores cerrados: endpoints, radial o midpoint. Se aceptan los alias selection y bertrand_method. Con endpoints el segundo punto de la circunferencia se trata como uniforme: la cuerda supera s cuando el ángulo central está en el intervalo abierto de dos pi entre tres a cuatro pi entre tres, de modo que el arco favorable dividido por la circunferencia completa es un tercio. La respuesta informa probability como valor principal, junto con radius, method, triangle_side, critical_distance y formula.

Uso práctico, invariancia de escala, precios y canales de entrega

Use la herramienta del navegador cuando enseñe probabilidad geométrica, compruebe una afirmación de un manual sobre los tres métodos de Bertrand o muestre por qué la instrucción tome una cuerda al azar queda incompleta hasta que se nombra una medida. Los resultados son totalmente deterministas: el mismo radio y el mismo método producen siempre la misma probabilidad, el mismo lado y la misma distancia crítica. No hay modelo de lenguaje, ni servicio externo de geometría ni muestreo aleatorio de cuerdas, de modo que la capacidad puede fijarse con seguridad en comprobaciones de integración continua y en materiales didácticos reproducibles. Use la API cuando un script, una plataforma curricular, un oráculo de cuestionarios o un cuaderno de investigación necesite JSON estable para muchas parejas de radius y method bajo un mismo contrato. Cada solicitud correcta es un artículo facturable a $0.002; la validación fallida no consume saldo. El radio puede ser cualquier número finito positivo: las tres probabilidades no dependen del radio concreto, teorema de la invariancia de escala de cada medida, pero el campo sigue siendo obligatorio para que triangle_side y critical_distance sean dimensionalmente honestos y para que un radio no positivo se rechace en lugar de ignorarse en silencio. Conecte el endpoint a tutoriales de probabilidad, oráculos de entrevistas o cuadernos que contrasten construcciones invariantes por rotación, radiales y uniformes en área de una cuerda aleatoria, sin dibujar nunca un histograma de Monte Carlo que no acaba de estabilizarse.