Paradoxe de Bertrand : corde aléatoire et côté du triangle

Le paradoxe de Bertrand est la démonstration classique que l'expression corde aléatoire ne désigne pas une seule probabilité tant qu'une méthode de sélection n'a pas été choisie. Étant donné un cercle de rayon positif, le triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a une longueur de côté parfaitement définie. Cette calculatrice indique la probabilité qu'une corde tirée au hasard soit strictement plus longue que ce côté, selon l'une des trois méthodes historiques de Bertrand : extrémités aléatoires sur la circonférence, un point aléatoire sur un rayon aléatoire, ou un milieu tiré uniformément du disque. La mesure géométrique est évaluée sous forme fermée à partir du rayon et de la méthode choisie, sans échantillonnage et sans modèle de langage. Un rayon non positif est rejeté comme entrée invalide, car il n'existe alors ni cercle ni triangle inscrit auquel comparer.

Ce que demande le paradoxe de Bertrand et pourquoi trois réponses apparaissent

Joseph Bertrand formula en 1889 une question d'une brièveté trompeuse : une corde est tracée au hasard dans un cercle ; quelle est la probabilité que cette corde soit plus longue que le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans le même cercle ? La longueur du côté elle-même n'est pas ambiguë.

Dans un cercle de rayon r, le triangle équilatéral inscrit a pour côté r fois la racine carrée de trois, car chaque angle au centre mesure cent vingt degrés et la formule de la corde, deux r fois le sinus de la moitié de l'angle, se réduit exactement à r fois racine de trois.

Une corde dont le milieu se trouve à la distance d du centre a pour longueur deux fois la racine de r au carré moins d au carré, de sorte qu'elle dépasse ce côté précisément lorsque d est plus petit que r sur deux. La difficulté n'est pas la comparaison ; c'est le sens de au hasard. Des procédures naturelles différentes pour choisir une corde induisent des mesures différentes sur l'espace des milieux ou des extrémités, donc des probabilités différentes pour le même événement géométrique.

Bertrand exhiba trois procédures qui paraissent également équitables et obtint un tiers, un demi et un quart. Le paradoxe se résout en nommant la mesure, non en déclarant faux l'un des trois nombres. Cette calculatrice prend cette résolution au sérieux : vous choisissez une méthode, elle évalue la mesure correspondante et renvoie la probabilité que la corde aléatoire dépasse le côté du triangle inscrit.

Usage pratique, invariance d'échelle, tarifs et canaux de livraison

Utilisez l'outil du navigateur lorsque vous enseignez la probabilité géométrique, vérifiez une affirmation de manuel sur les trois méthodes de Bertrand, ou montrez pourquoi la consigne prenez une corde au hasard reste incomplète tant qu'une mesure n'est pas nommée. Les résultats sont entièrement déterministes : le même rayon et la même méthode produisent toujours la même probabilité, le même côté et la même distance critique.

Il n'y a ni modèle de langage, ni service de géométrie externe, ni échantillonnage aléatoire de cordes, de sorte que la capacité peut être figée en toute sécurité dans des contrôles d'intégration continue et des supports de cours reproductibles. Branchez le point de terminaison à des tutoriels de probabilité, des oracles d'entretien ou des carnets qui contrastent les constructions invariantes par rotation, radiales et uniformes en aire d'une corde aléatoire, sans jamais tracer un histogramme de Monte Carlo qui ne se stabilise jamais tout à fait.