Bertrandsches Paradoxon

Das Bertrandsche Paradoxon ist der klassische Nachweis, dass der Ausdruck Zufallssehne keine einzige Wahrscheinlichkeit benennt, solange kein Auswahlverfahren feststeht. Bei einem Kreis mit positivem Radius hat das einbeschriebene gleichseitige Dreieck eine eindeutig bestimmte Seitenlänge. Dieser Rechner liefert die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Sehne strikt länger ist als diese Seite, unter einem der drei historischen Bertrand-Verfahren: zufällige Endpunkte auf dem Umfang, ein Zufallspunkt auf einem zufälligen Radius oder ein gleichmäßig aus der Kreisscheibe gezogener Mittelpunkt. Das geometrische Maß wird in geschlossener Form aus Radius und gewähltem Verfahren ausgewertet, ohne Stichprobe und ohne Sprachmodell. Ein nicht positiver Radius wird als ungültige Eingabe abgelehnt, weil es dann weder einen Kreis noch ein einbeschriebenes Dreieck zum Vergleich gibt.

Was das Bertrandsche Paradoxon fragt und warum drei Antworten erscheinen

Joseph Bertrand stellte 1889 eine täuschend kurze Frage: In einem Kreis wird aufs Geratewohl eine Sehne gezogen; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Sehne länger ist als die Seite eines gleichseitigen Dreiecks, das demselben Kreis einbeschrieben ist? Die Seitenlänge selbst ist nicht mehrdeutig. In einem Kreis mit Radius r hat das einbeschriebene gleichseitige Dreieck die Seite r mal die Quadratwurzel aus drei, weil jeder Zentriwinkel einhundertzwanzig Grad misst und die Sehnenformel zwei r mal Sinus des halben Winkels genau auf r mal Wurzel drei führt.

Eine Sehne, deren Mittelpunkt den Abstand d vom Zentrum hat, besitzt die Länge zwei mal die Wurzel aus r Quadrat minus d Quadrat, übertrifft jene Seite also genau dann, wenn d kleiner als r durch zwei ist. Die Schwierigkeit liegt nicht im Vergleich, sondern in der Bedeutung von aufs Geratewohl. Unterschiedliche natürliche Verfahren, eine Sehne zu wählen, erzeugen unterschiedliche Maße auf dem Raum der Mittelpunkte oder der Endpunkte und damit unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für dasselbe geometrische Ereignis.

Bertrand zeigte drei Verfahren, die gleichermaßen fair wirken, und erhielt ein Drittel, ein Halb und ein Viertel. Das Paradoxon löst sich, indem man das Maß benennt, nicht indem man eine der drei Zahlen für falsch erklärt. Dieser Rechner nimmt jene Auflösung ernst: Sie wählen ein Verfahren, er wertet das zugehörige Maß aus und gibt die Wahrscheinlichkeit zurück, dass die Zufallssehne die Seite des einbeschriebenen Dreiecks übertrifft.

Praktischer Einsatz, Skaleninvarianz, Preise und Lieferkanäle

Nutzen Sie das Browser-Werkzeug, wenn Sie geometrische Wahrscheinlichkeit unterrichten, eine Lehrbuchbehauptung zu Bertrands drei Verfahren prüfen oder zeigen, warum die Anweisung ziehen Sie eine Zufallssehne unvollständig bleibt, bis ein Maß benannt ist. Die Ergebnisse sind vollständig deterministisch: Derselbe Radius und dasselbe Verfahren liefern stets dieselbe Wahrscheinlichkeit, dieselbe Seite und denselben kritischen Abstand. Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Geometriedienst und keine Zufallsstichprobe von Sehnen, daher lässt sich die Fähigkeit sicher in Prüfungen der kontinuierlichen Integration und in reproduzierbaren Unterrichtsmaterialien festnageln.

Verdrahten Sie den Endpunkt in Wahrscheinlichkeitstutorien, Vorstellungsorakel oder Notizbücher, die rotationsinvariante, radiale und flächenuniforme Konstruktionen einer Zufallssehne gegenüberstellen, ohne jemals ein Monte-Carlo-Histogramm zu zeichnen, das nie ganz zur Ruhe kommt.