مجموع متسلسلة
اجمع أول n حدًا من متسلسلة حسابية أو هندسية بصيغة مغلقة واحدة: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 تساوي 35، و2 + 6 + 18 + 54 تساوي 80. وتحصل أيضًا على الحد الأخير. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- النوع
- Arithmetic
- الأول
- 3
- الخطوة
- 2
- N
- 5
- الأخير
- 11
- Sum
- 35
مجموع المتسلسلة هو إجمالي أول n حدًا منها، لا قائمة تلك الحدود. تغطي أسرتان معظم ما يدخله الطلاب والمحللون والمهندسون في الحاسبة: المتسلسلة الحسابية حيث ينمو كل حد بخطوة ثابتة، والمتسلسلة الهندسية حيث يُضرب كل حد بنسبة ثابتة. تأخذ هذه القدرة الأسرة والحد الأول وتلك الخطوة أو النسبة وعددًا صحيحًا موجبًا، ثم تقيّم الصيغة المغلقة للمجموع الجزئي. لا توسّع كل حد في مصفوفة، ولا تجمع ذيلًا هندسيًا لانهائيًا، ولا تخترع نتيجة عندما يكون العدد صفرًا أو سالبًا أو كسريًا.
صيغ المجموع الجزئي الحسابي والهندسي
تضيف المتسلسلة الحسابية خطوة ثابتة بين الحدود المتتالية. إذا كان الحد الأول a والخطوة d، تجري الحدود a ثم a زائد d ثم a زائد اثنين d وهكذا، وآخر n حدًا هو a زائد n ناقص واحد في d. إقران الأول بالأخير والثاني بما قبل الأخير وهكذا ينتج n على اثنين من الأزواج يبلغ كل منها اثنين a زائد n ناقص واحد في d؛ لذلك يساوي المجموع المغلق n على اثنين في اثنين a زائد n ناقص واحد في d.
فحص صفي هو ثلاثة زائد خمسة زائد سبعة زائد تسعة زائد أحد عشر: الحد الأول ثلاثة، الخطوة اثنان، خمسة حدود، المجموع خمسة وثلاثون. أما المتسلسلة الهندسية فتضرب بنسبة ثابتة r، فتكون الحدود a ثم a في r ثم a في r تربيع حتى a في r مرفوعة إلى n ناقص واحد. عندما لا تساوي r واحدًا يكون المجموع المنتهي a في واحد ناقص r إلى n، كله على واحد ناقص r؛ وعندما تساوي r واحدًا تمامًا يساوي كل حد a وينهار المجموع إلى n في a.
اثنان زائد ستة زائد ثمانية عشر زائد أربعة وخمسون هو حال أربعة حدود بحد أول اثنين ونسبة ثلاثة، والمجموع ثمانون. ولأن الهويتين صيغتان مغلقتان، لا يمشي هذا الطرف الحدود في حلقة، ولا يعتمد على ساعة الحائط، ولا يسحب عينة عشوائية.
الحدود والبحث المجاور والفحوص العملية
عند التدريس فضّل أمثلة مقترنة تثبّت الأسرتين: ثلاثة وخمسة وسبعة وتسعة وأحد عشر للحسابية، واثنان وستة وثمانية عشر وأربعة وخمسون للهندسية، مع عدد صفر يبيّن مسار الرفض الصارم. تستهدف هذه الصفحة من يبحث عن حاسبة مجموع متسلسلة ويملك أصلًا الحد الأول والخطوة أو النسبة و n، ويحتاج عقدًا واحدًا يغطي الأسرتين. ذيل هندسي لانهائي بنسبة مطلقة أقل تمامًا من واحد استعلام آخر وصيغة أخرى؛ واختصار الحد الأخير الذي يحتاج فقط a1 و an و n استعلام آخر أيضًا.
فضّل الصيغة المغلقة على اختراع وضع يوسّع كل حد: طلب واحد يغطي مجاميع الصفوف وفحوص n الكبيرة دون إرسال مصفوفات ضخمة، والحد الأخير المُعاد يتيح تأكيد العضو النوني يدويًا قبل الثقة بالمجموع.
حالات الاستخدام
مدققات مسابقات البرمجة والمقابلات
أكّد الحلول المرشحة لمسائل مجموع المتسلسلات الكلاسيكية دون إعادة تنفيذ الصيغتين المغلقتين في كل إطار لغة.
المالية وجداول النمو
اجمع زيادة مستوية (حسابية) أو عامل نمو ثابتًا (هندسيًا) على عدد معلوم من الفترات في أنابيب تكون فيها الصيغة المغلقة أأمن من المرور على كل صف.
الأسئلة الشائعة
كيف يُحسب مجموع أول n حدًا من متسلسلة هندسية؟
مثال: first 2 و ratio 3 و n 4 → 80.
لماذا يُرفض عدد الحدود إن لم يكن صحيحًا موجبًا؟
المجموع الجزئي لأول n حدًا يحتاج n ≥ 1 عددًا صحيحًا.
هل هذا مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية S = a / (1 − r)؟
لا. هذه الحاسبة تجمع عددًا منتهيًا من الحدود. المجموع اللانهائي بحث آخر ولا يتقارب إلا عندما |r| < 1.
كيف يُحسب مجموع أول n حدًا من متسلسلة حسابية؟
اجمع الحد الأول مع الأخير، والثاني مع ما قبل الأخير، وهكذا: كل زوج يعطي المجموع نفسه. لذلك تعطي 3 + 5 + 7 + 9 + 11، بحد أول 3 وفرق 2 وخمسة حدود، المجموع 35.
ماذا يحدث في المتسلسلة الهندسية إذا كانت النسبة 1؟
تصبح كل الحدود مساوية للحد الأول، والصيغة المعتادة تقود إلى قسمة على صفر. لذلك يكون المجموع ببساطة n في الحد الأول، وهكذا تحسبه الحاسبة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-series \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"kind":"arithmetic","first":3,"step":2,"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-series", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"kind": "arithmetic",
"first": 3,
"step": 2,
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-series",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"kind": "arithmetic",
"first": 3,
"step": 2,
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-series", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"kind":"arithmetic","first":3,"step":2,"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"kind":"arithmetic","first":3,"step":2,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sum-of-series", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"kind": "arithmetic",
"first": 3,
"step": 2,
"n": 5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sum_of_series",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_n | 1000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تعمل الدالة النقية ذاتها في الأداة المجانية بالمتصفح وفي مسار API، فلا يختلف تدقيق واجب عن مهمة دفعات على مجموع كتابي.
صيغ المجموع الجزئي الحسابي والهندسي
العدد الذي ليس صحيحًا موجبًا ليس مجموعًا جزئيًا في هذا المنتج: يرفضه المعالج بـ invalid_input بدل إرجاع صفر أو مدّ الصيغة إلى n بإشارة أو كسر.
كيفية استدعاء الحاسبة وما يعود
استخدمها من أنابيب الواجبات ومدققي المسابقات ومهام إثراء الجداول أو أي تدفق يحتاج مجموعًا جزئيًا قابلًا للإعادة دون تثبيت نظام جبر حاسوبي على كل آلة. أرسل جسم JSON بأربعة حقول إلزامية. الحقل kind هو أسرة المتسلسلة ويجب أن يكون قيمة التعداد arithmetic أو geometric؛ تُقبل الأسماء البديلة type و series و mode. الحقل first عدد منتهٍ هو الحد الأول، بأسماء بديلة a و a1 و first_term. الحقل step عدد منتهٍ يتبع معناه kind: الفرق المشترك عندما تكون الأسرة حسابية، أو النسبة المشتركة عندما تكون هندسية. تناسب الأسماء d و difference و common_difference القراءة الحسابية؛ وتناسب ratio و r و common_ratio القراءة الهندسية. الحقل n هو عدد الحدود ويجب أن يكون عددًا صحيحًا من واحد إلى مليون؛ تُقبل الأسماء terms و count. عند النجاح تعكس الاستجابة kind و first و step و n كقيم مُكرهة، مع last (الحد النوني) و sum (المجموع الجزئي المطلوب) و formula (الهوية المطبّقة). فشل التحقق — حقل ناقص، غير عدد لـ first أو step، kind خارج التعداد، أو عدد ليس صحيحًا موجبًا — يعيد invalid_input ولا يُحتسب أبدًا. التسعير مبلغ ثابت $0.002 لكل طلب ناجح بوحدة item.
الحدود والبحث المجاور والفحوص العملية
أبقِ n داخل النطاق المنشور كي تظل مسارات Worker والمتصفح التفاعلية دقيقة لأحجام التدريس والعمل المعتادة. المقادير الشديدة الكبر للحد الأول أو الخطوة، أو نسبة هندسية قيمتها المطلقة أكبر من واحد مع n كبير، قد تدفع نواتج وسيطة خارج الفاصلة العائمة IEEE المنتهية؛ وعندها يعيد المعالج invalid_input بدل اللانهاية. المهام الفاشلة التي تعيد invalid_input لا تستهلك الرصيد المدفوع مقدمًا، فيبقى استكشاف العقود رخيصًا حين يكتب المتعلمون عددًا كسريًا أو صفرًا.
حالات التكامل
واجبات: أول n حدود من أي الأسرتين
أعطِ الطلاب الأسرة والحد الأول والخطوة أو النسبة والعدد؛ قابل مجموعهم الجزئي المحسوب يدويًا بواجهة API حتمية أو بنتيجة المتصفح المجانية.
أسئلة تقنية
كيف يُحسب مجموع أول n حدًا من متسلسلة حسابية؟
اضبط kind على arithmetic و first على a₁ و step على الفرق المشترك d و n على عدد الحدود. المجموع هو n/2 × (2×first + (n−1)×step). مثال: first 3 و step 2 و n 5 → 35.
كم تبلغ تكلفة حاسبة مجموع المتسلسلة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. تستعمل استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مقدمًا بسعر $0.002 لكل طلب ناجح؛ ولا تُحتسب المهام الفاشلة أبدًا.