Suma de una serie

La suma de una serie es el total de sus n primeros términos, no la lista de esos términos. Dos familias cubren casi todo lo que estudiantes, analistas e ingenieros teclean en una calculadora: la serie aritmética, en la que cada término crece un paso constante, y la serie geométrica, en la que cada término se multiplica por una razón constante. Esta capacidad toma la familia, el primer término, ese paso o razón y un recuento entero positivo, y evalúa la fórmula cerrada de la suma parcial. No expande cada término en un arreglo, no suma una cola geométrica infinita y no inventa un resultado cuando el recuento es cero, negativo o fraccionario.

Fórmulas de suma parcial aritmética y geométrica

Una serie aritmética añade un paso constante entre términos consecutivos. Si el primer término es a y el paso es d, los términos van a, a más d, a más dos d, y así sucesivamente, y el último de n términos es a más n menos uno veces d.

Emparejar el primero con el último, el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente, produce n entre dos pares que totalizan cada uno dos a más n menos uno veces d; por eso la suma cerrada vale n entre dos veces dos a más n menos uno veces d. Una comprobación de aula es tres más cinco más siete más nueve más once: primer término tres, paso dos, cinco términos, suma treinta y cinco.

Una serie geométrica, en cambio, multiplica por una razón constante r, de modo que los términos son a, a r, a r al cuadrado, hasta a veces r elevado a n menos uno. Cuando r no es uno la suma finita es a veces uno menos r a la n, todo entre uno menos r; cuando r es exactamente uno cada término vale a y la suma se reduce a n veces a.

Dos más seis más dieciocho más cincuenta y cuatro es el caso de cuatro términos con primero dos y razón tres, y la suma es ochenta. Como ambas identidades son formas cerradas, este extremo nunca recorre los términos en un bucle, nunca depende del reloj de pared y nunca extrae una muestra aleatoria.

Límites, búsquedas relacionadas y comprobaciones prácticas

Al enseñar, prefiera ejemplos emparejados que fijen ambas familias: tres, cinco, siete, nueve, once para la aritmética, y dos, seis, dieciocho, cincuenta y cuatro para la geométrica, más un recuento cero que demuestra la ruta de rechazo duro. Esta página apunta a quienes buscan una calculadora de suma de una serie y ya tienen el primer término, el paso o la razón, y n, y necesitan un solo contrato que cubra ambas familias.

Una cola geométrica infinita con razón absoluta estrictamente menor que uno es otra consulta y otra fórmula; un atajo por último término que solo necesita a1, an y n es otra consulta distinta. Prefiera la forma cerrada a inventar un modo que expanda cada término: una petición cubre sumas de aula y comprobaciones de n grandes sin enviar arreglos enormes, y el último término devuelto permite confirmar el n-ésimo miembro a mano antes de confiar en el total.