Summe einer Reihe

Die Summe einer Reihe ist die Gesamtheit ihrer ersten n Glieder, nicht die Liste dieser Glieder. Zwei Familien decken das meiste ab, was Lernende, Analysten und Ingenieure wirklich in einen Rechner tippen: die arithmetische Reihe, in der jedes Glied um eine konstante Differenz wächst, und die geometrische Reihe, in der jedes Glied mit einem konstanten Quotienten multipliziert wird. Diese Fähigkeit nimmt die Familie, das Anfangsglied, jene Differenz oder jenen Quotienten und eine positive ganze Anzahl entgegen und wertet die geschlossene Formel der Partialsumme aus. Sie expandiert nicht jedes Glied in ein Array, summiert keinen unendlichen geometrischen Rest und erfindet kein Ergebnis, wenn die Anzahl null, negativ oder gebrochen ist.

Formeln der arithmetischen und geometrischen Partialsumme

Eine arithmetische Reihe addiert eine konstante Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Ist das Anfangsglied a und die Differenz d, laufen die Glieder a, a plus d, a plus zwei d und so weiter, und das letzte von n Gliedern ist a plus n minus eins mal d.

Das Paaren des ersten mit dem letzten, des zweiten mit dem vorletzten und so weiter erzeugt n durch zwei Paare, die jeweils zwei a plus n minus eins mal d ergeben; deshalb ist die geschlossene Summe n durch zwei mal zwei a plus n minus eins mal d. Eine Unterrichtsprüfung ist drei plus fünf plus sieben plus neun plus elf: Anfangsglied drei, Differenz zwei, fünf Glieder, Summe fünfunddreißig.

Eine geometrische Reihe multipliziert stattdessen mit einem konstanten Quotienten r, sodass die Glieder a, a r, a r zum Quadrat bis a mal r hoch n minus eins sind. Ist r nicht eins, ist die endliche Summe a mal eins minus r hoch n, alles durch eins minus r; ist r genau eins, gleicht jedes Glied a und die Summe fällt auf n mal a. Zwei plus sechs plus achtzehn plus vierundfünfzig ist der Vier-Glieder-Fall mit Anfang zwei und Quotient drei, und die Summe ist achtzig.

Weil beide Identitäten geschlossene Formen sind, durchläuft dieser Endpunkt die Glieder nie in einer Schleife, hängt nie von der Wanduhr ab und zieht nie eine Zufallsstichprobe.

Grenzen, verwandte Suchen und praktische Prüfungen

Beim Unterrichten bevorzugen Sie gepaarte Beispiele, die beide Familien festlegen: drei, fünf, sieben, neun, elf für die arithmetische, und zwei, sechs, achtzehn, vierundfünfzig für die geometrische, plus eine Nullanzahl, die den harten Ablehnungspfad zeigt. Diese Seite richtet sich an Personen, die einen Rechner für die Summe einer Reihe suchen, bereits Anfangsglied, Differenz oder Quotient und n haben und einen Vertrag brauchen, der beide Familien abdeckt.

Ein unendlicher geometrischer Rest mit absolutem Quotienten strikt kleiner als eins ist eine andere Anfrage und eine andere Formel; eine Letztglied-Abkürzung, die nur a1, an und n braucht, ist wieder eine andere Anfrage. Bevorzugen Sie die geschlossene Form gegenüber einem Modus, der jedes Glied expandiert: eine Anfrage deckt Unterrichtssummen und Prüfungen mit großem n ab, ohne riesige Arrays zu versenden, und das zurückgegebene letzte Glied lässt Sie das n-te Mitglied von Hand bestätigen, bevor Sie der Gesamtsumme vertrauen.