Homothetie-Rechner
Finden Sie heraus, wohin ein Punkt bei einer zentrischen Streckung wandert: Der Punkt (4, 2) mit Faktor 2 um den Ursprung landet bei (8, 4). Jedes Zentrum und jeder Faktor funktioniert, auch negative. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- X
- 4
- Y
- 2
- Cx
- 0
- Cy
- 0
- K
- 2
- Bild (x)
- 8
- Bild (y)
- 4
- Dx
- 4
- Dy
- 2
Eine Homothetie, auch Streckung oder zentrische Ähnlichkeit genannt, bildet jeden Punkt P der Ebene auf ein Bild P Strich ab, das auf dem Strahl vom festen Zentrum C durch P liegt und mit einem reellen Streckfaktor k skaliert wird. Die definierende Vektoridentität lautet P Strich gleich C plus k mal dem Vektor von C nach P, sodass Abstände vom Zentrum mit dem Betrag von k multipliziert werden, während Winkel am Zentrum erhalten bleiben. Lernende begegnen dieser Abbildung beim Studium ähnlicher Figuren, Strahlensätzen und Spiralähnlichkeiten; Gestalter nutzen positives k, um eine Figur um einen Anker zu vergrößern oder zu verkleinern; negatives k erzeugt eine gegensinnige Homothetie, die beim Skalieren durch das Zentrum spiegelt.
Was eine ebene Homothetie leistet und wie das Bild berechnet wird
Eine ebene Homothetie mit Zentrum C gleich dem Punkt mit Koordinaten cx und cy und Streckfaktor k ist die eindeutige Abbildung, die jeden Punkt P mit Koordinaten x und y auf das Bild P Strich abbildet, das durch die Vektorformel P Strich gleich C plus k mal Klammer auf P minus C Klammer zu definiert ist. Ist k gleich eins, ist die Abbildung die Identität und das Bild fällt mit dem Originalpunkt zusammen. Ist k gleich null, kollabiert jeder Punkt auf das Zentrum, sodass das Bild stets C ist.
Liegt k streng zwischen null und eins, schrumpft die Figur zum Zentrum hin und bleibt auf denselben Strahlen. Ist k größer als eins, vergrößert sich die Figur vom Zentrum weg. Ist k negativ, liegt das Bild auf dem entgegengesetzten Strahl durch C, sodass die Abbildung eine gegensinnige Homothetie ist, die gleichzeitig mit dem Betrag von k skaliert und durch das Zentrum spiegelt; der klassische Fall k gleich minus eins ist eine Punktspiegelung bzw.
Halbdrehung um C. Homothetie erhält Winkel am Zentrum und multipliziert alle vom Zentrum gemessenen Abstände mit dem Betrag von k; deshalb behalten durch Streckung erzeugte ähnliche Figuren dieselbe Form. Parallele Geraden bleiben parallel, Kreise gehen in Kreise über und Strecken in Strecken, deren Längen mit dem Betrag von k skalieren.
Wo Ihnen eine zentrische Streckung hilft
Unterricht und Tutoring-Plattformen nutzen einen Homothetie-Streckungsrechner, damit Lernende Bildkoordinaten für beliebige Zentren und Streckfaktoren prüfen können, ohne Vorzeichenfehler beim manuellen Ausmultiplizieren von k mal Klammer auf x minus cx Klammer zu. Prüfungsgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das einen nichtnumerischen Streckfaktor als falsch markiert, statt stillschweigend einen Skalierungsfaktor zu erfinden. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Halten Sie Anfragen klein, fixieren Sie die gerundeten Bildkoordinaten in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Streckungen für Hausaufgaben, LMS-Plugins und Edge-Worker, ohne eine eigene vollständige Computer-Algebra- oder Grafikstack aufzubauen.
Anwendungsfälle
Streckungsprüfungen im Unterricht
Lassen Sie Lernende einen Punkt, ein Zentrum und einen Streckfaktor k eingeben und die Bildkoordinaten an der Lehrbuchidentität P′ = C + k(P − C) prüfen.
Automatische Bewertung von Prüfungen und LMS
Bewerten Sie Homothetie-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, das nichtnumerische Streckfaktoren ablehnt und stabile Bildkoordinaten mit zwölf Dezimalstellen liefert.
CAD-, Spiel- und SVG-Anker
Skalieren Sie einen Entwurfspunkt um einen beliebigen Anker in Skripten und Edge-Workern, ohne die Streckungsformel in jedem Client neu zu kodieren.
Häufige Fragen
Wie berechnet man das Bild eines Punktes unter einer Homothetie?
Senden Sie endliche Zahlen x, y für den Punkt, cx, cy für das Zentrum und k für den Streckfaktor.
Muss das Zentrum der Ursprung sein?
Nein. Jedes endliche Zentrum (cx, cy) funktioniert. Die Formel streckt stets relativ zu diesem Zentrum, nicht relativ zum Koordinatenursprung, es sei denn, Sie setzen cx und cy auf null.
Was bewirkt ein negativer Streckfaktor?
Der Bildpunkt landet auf der anderen Seite des Zentrums, gestreckt um den Betrag des Faktors. Ein Faktor von −1 ist eine Punktspiegelung: Der Punkt (2, 0) um den Ursprung geht nach (−2, 0).
Was passiert bei einem Faktor von 0 oder 1?
Ein Faktor von 1 ist die Identität und lässt jeden Punkt, wo er ist. Ein Faktor von 0 zieht alle Punkte in das Zentrum, der Bildpunkt ist dann immer das Zentrum selbst.
Welche Eigenschaften bleiben bei einer Streckung erhalten?
Winkel bleiben gleich, parallele Geraden bleiben parallel und Kreise werden zu Kreisen. Jeder Abstand vom Zentrum wird mit dem Betrag des Faktors multipliziert, deshalb sind Bild und Figur ähnlich.
Muss das Zentrum im Ursprung liegen?
Nein, Sie können jedes Zentrum wählen. Beim Punkt (5, 1) mit Faktor 3 um das Zentrum (1, 1) wird der Abstand von 4 nach rechts verdreifacht, der Bildpunkt liegt also 12 rechts vom Zentrum.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":4,"y":2,"cx":0,"cy":0,"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x": 4,
"y": 2,
"cx": 0,
"cy": 0,
"k": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": 4,
"y": 2,
"cx": 0,
"cy": 0,
"k": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":4,"y":2,"cx":0,"cy":0,"k":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":4,"y":2,"cx":0,"cy":0,"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"x": 4,
"y": 2,
"cx": 0,
"cy": 0,
"k": 2
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.homothety",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dieser Homothetie-Streckungsrechner nimmt die Punktkoordinaten, das Zentrum und den Streckfaktor entgegen, liefert die exakten Bildkoordinaten mit dem Zwischenverschiebungsvektor und scheitert sauber mit invalid_input, wenn der Streckfaktor oder eine Koordinate fehlt oder nicht numerisch ist.
Was eine ebene Homothetie leistet und wie das Bild berechnet wird
In Komponenten ergibt das image_x gleich cx plus k mal Klammer auf x minus cx Klammer zu und image_y gleich cy plus k mal Klammer auf y minus cy Klammer zu.
Eingabevertrag, Antwortfelder und Fehlerverhalten
Beispiel: Punkt vier Komma zwei, Zentrum null Komma null, Streckfaktor zwei liefert Bild acht Komma vier, weil der Verschiebungsvektor vier Komma zwei ist und seine Verdopplung vom Ursprung acht Komma vier ergibt. Beispiel mit nichtursprünglichem Zentrum: Punkt fünf Komma eins, Zentrum eins Komma eins, Streckfaktor drei liefert Bild dreizehn Komma eins, weil die Verschiebung vier Komma null ist, mal drei zwölf Komma null, plus Zentrum dreizehn Komma eins. Negativer Streckfaktor: Punkt zwei Komma null, Zentrum null Komma null, Streckfaktor minus eins liefert Bild minus zwei Komma null, die Punktspiegelung. Kombinieren Sie die Antwort mit eigenem Zeichencode, wenn Sie eine Skizze von Strahlen und skalierten Strecken brauchen; dieser Endpunkt liefert nur Koordinaten und keine Diagramme oder mehrstufige Prosa jenseits des Feldes formula. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit fünf erforderlichen endlichen Zahlen: x und y für den zu streckenden Punkt, cx und cy für das Homothetiezentrum und k für den Streckfaktor. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder numerische Zeichenkette eintreffen; leere Zeichenketten, fehlende Schlüssel, nichtnumerischer Text und nichtendliche Werte wie NaN oder Infinity scheitern mit invalid_input und benennen das Feld. Absolutbeträge über einer Billion werden abgelehnt, damit Zwischenprodukte im Worker endlich bleiben. Bei Erfolg gibt der Körper x, y, cx, cy und k zurück; meldet image_x und image_y als gestreckte Koordinaten; enthält dx und dy als Verschiebung vom Zentrum zum Originalpunkt vor der Skalierung; und setzt method auf homothety_dilation mit einer kurzen Formelzeichenkette, die die Vektoridentität wiederholt. Ungültiger Streckfaktor: k als Zeichenkette not-a-number scheitert mit invalid_input und wird nicht berechnet.
Wo eine Homothetie-Streckungs-API ihren Nutzen entfaltet
CAD-Plugins, Spiele-Editoren und SVG-Werkzeuge setzen eine Figur oft relativ zu einem Anker und skalieren dann um diesen Anker; der Aufruf einer kleinen Parse-API vermeidet, dieselbe Fünf-Zahlen-Formel in jeder Hostsprache neu zu implementieren. Weil die Implementierung reine Parse-Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz.
Technische Fragen
Was bedeutet der Streckfaktor k?
k multipliziert Vektoren vom Zentrum: |k|>1 vergrößert, 0<|k|<1 verkleinert, k<0 ist gegensinnige Homothetie (durch das Zentrum), k=1 ist Identität und k=0 bildet jeden Punkt auf das Zentrum ab.
Was geschieht, wenn der Streckfaktor nicht numerisch ist?
Die Aufgabe scheitert mit invalid_input. Der Streckfaktor k muss eine endliche Zahl sein (JSON-Zahl oder numerische Zeichenkette); Text wie not-a-number wird abgelehnt und nicht berechnet.
Was kostet der Homothetie-Streckungsrechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.