Calculateur d'homothétie
Trouvez où tombe un point après une homothétie : le point (4, 2) de rapport 2 par rapport à l'origine va en (8, 4). Tout centre et tout rapport conviennent, y compris négatifs, qui envoient le point de l'autre côté du centre. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- X
- 4
- Y
- 2
- Cx
- 0
- Cy
- 0
- K
- 2
- Image (x)
- 8
- Image (y)
- 4
- Dx
- 4
- Dy
- 2
L'homothétie, aussi appelée dilatation ou similitude centrale, envoie chaque point P du plan vers une image P prime située sur le rayon partant du centre fixe C et passant par P, mise à l'échelle par un rapport réel k. L'identité vectorielle définissante est P prime égale C plus k fois le vecteur de C vers P, de sorte que les distances au centre se multiplient par la valeur absolue de k tandis que les angles au centre sont préservés. Les élèves rencontrent cette application en étudiant les figures semblables, les théorèmes d'interception et les similitudes en spirale ; les concepteurs utilisent un k positif pour agrandir ou réduire une figure autour d'une ancre ; un k négatif produit une homothétie opposée qui réfléchit à travers le centre tout en mettant à l'échelle.
Ce qu'une homothétie plane fait et comment l'image est calculée
Une homothétie plane de centre C égal au point de coordonnées cx et cy et de rapport k est l'unique application qui envoie chaque point P de coordonnées x et y vers l'image P prime définie par la formule vectorielle P prime égale C plus k fois parenthèse ouverte P moins C parenthèse fermée. Lorsque k vaut un l'application est l'identité et l'image coïncide avec le point d'origine. Lorsque k vaut zéro tout point s'effondre sur le centre, de sorte que l'image est toujours C.
Lorsque k est strictement compris entre zéro et un la figure se contracte vers C en restant sur les mêmes rayons. Lorsque k est supérieur à un la figure s'agrandit en s'éloignant de C.
Lorsque k est négatif l'image se trouve sur le rayon opposé à travers C, de sorte que l'application est une homothétie opposée qui met à l'échelle par la valeur absolue de k et réfléchit à travers le centre simultanément ; le cas classique k égal à moins un est une symétrie centrale, aussi appelée réflexion ponctuelle ou demi-tour autour de C.
L'homothétie préserve les angles au centre et multiplie toutes les distances mesurées depuis C par la valeur absolue de k, ce qui explique pourquoi les figures semblables construites par dilatation conservent la même forme. Les droites parallèles restent parallèles, les cercles s'envoient sur des cercles et les segments sur des segments dont les longueurs s'échelonnent par la valeur absolue de k.
Où le calcul d'une homothétie vous aide
Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur de dilatation par homothétie pour que les apprenants vérifient les coordonnées d'image pour des centres et rapports arbitraires sans erreurs de signe en développant à la main k fois parenthèse ouverte x moins cx parenthèse fermée. Les générateurs d'examens ont besoin d'un oracle déterministe qui marque comme erroné un rapport non numérique au lieu d'inventer silencieusement un facteur d'échelle. Une validation échouée ne consomme pas le solde.
Gardez les requêtes petites, figez les coordonnées d'image arrondies dans les tests, et vous obtiendrez des dilatations reproductibles pour les devoirs, plugins LMS et workers en bordure sans déployer une pile complète d'algèbre computationnelle ou de graphiques.
Cas d’usage
Contrôles de dilatation en classe
Permettez aux élèves de saisir un point, un centre et un rapport k et de vérifier les coordonnées de l'image par rapport à l'identité du manuel P′ = C + k(P − C).
Notation automatique d'examens et LMS
Notez les items d'homothétie avec un oracle déterministe qui rejette les rapports non numériques et renvoie des coordonnées d'image stables à douze décimales.
Ancres CAD, jeux et SVG
Mettez à l'échelle un point de conception autour d'une ancre arbitraire dans des scripts et workers en bordure sans recoder la formule de dilatation dans chaque client.
Questions fréquentes
Comment calculer l'image d'un point sous une homothétie ?
Envoyez des nombres finis x, y pour le point, cx, cy pour le centre et k pour le rapport.
Le centre doit-il être l'origine ?
Non. Tout centre fini (cx, cy) convient. La formule dilate toujours par rapport à ce centre, et non par rapport à l'origine des coordonnées, sauf si vous fixez cx et cy à zéro.
Que fait un rapport négatif dans une homothétie ?
L'image passe de l'autre côté du centre, agrandie ou réduite selon la taille du rapport. Un rapport de −1 est une symétrie centrale : le point (2, 0) par rapport à l'origine va en (−2, 0).
Que se passe-t-il avec un rapport de 0 ou de 1 ?
Un rapport de 1 est l'identité et laisse chaque point exactement à sa place. Un rapport de 0 ramène tous les points sur le centre, si bien que l'image est toujours le centre lui-même.
Quelles propriétés une homothétie conserve-t-elle ?
Les angles ne changent pas, les droites parallèles restent parallèles et les cercles deviennent des cercles. Chaque distance mesurée depuis le centre est multipliée par la valeur absolue du rapport, d'où des figures semblables.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":4,"y":2,"cx":0,"cy":0,"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x": 4,
"y": 2,
"cx": 0,
"cy": 0,
"k": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": 4,
"y": 2,
"cx": 0,
"cy": 0,
"k": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":4,"y":2,"cx":0,"cy":0,"k":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":4,"y":2,"cx":0,"cy":0,"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"x": 4,
"y": 2,
"cx": 0,
"cy": 0,
"k": 2
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.homothety",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce calculateur de dilatation par homothétie accepte les coordonnées du point, le centre et le rapport, renvoie les coordonnées exactes de l'image avec le vecteur de déplacement intermédiaire, et échoue proprement avec invalid_input lorsque le rapport ou une coordonnée est manquant ou non numérique.
Ce qu'une homothétie plane fait et comment l'image est calculée
En développant par composantes on obtient image_x égale cx plus k fois parenthèse ouverte x moins cx parenthèse fermée et image_y égale cy plus k fois parenthèse ouverte y moins cy parenthèse fermée.
Contrat d'entrée, champs de réponse et comportement d'erreur
Exemple : point quatre virgule deux, centre zéro virgule zéro, rapport deux donne l'image huit virgule quatre car le vecteur de déplacement est quatre virgule deux et le doubler depuis l'origine produit huit virgule quatre. Exemple avec un centre hors origine : point cinq virgule un, centre un virgule un, rapport trois donne l'image treize virgule un, car le déplacement est quatre virgule zéro, fois trois est douze virgule zéro, ajouté au centre est treize virgule un. Exemple de rapport négatif : point deux virgule zéro, centre zéro virgule zéro, rapport moins un donne l'image moins deux virgule zéro, la symétrie centrale du point. Associez la réponse à votre propre code de dessin si vous avez besoin d'un croquis de rayons et de segments mis à l'échelle ; ce point de terminaison renvoie uniquement des coordonnées et n'émet ni graphiques ni prose étape par étape au-delà du champ formula. Envoyez en POST un corps JSON avec cinq nombres finis obligatoires : x et y du point à dilater, cx et cy du centre d'homothétie, et k du rapport. Chaque champ peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne numérique ; chaînes vides, clés manquantes, texte non numérique et valeurs non finies telles que NaN ou Infinity échouent avec invalid_input en nommant le champ. Les valeurs absolues supérieures à un billion sont rejetées pour garder finis les produits intermédiaires sur le Worker. En cas de succès le corps renvoie en écho x, y, cx, cy et k ; signale image_x et image_y comme coordonnées dilatées ; inclut dx et dy comme déplacement du centre vers le point d'origine avant mise à l'échelle ; et fixe method à homothety_dilation avec une courte chaîne de formule qui réaffirme l'identité vectorielle. Exemple de rapport invalide : envoyer k comme la chaîne not-a-number échoue avec invalid_input et n'est pas facturé.
Où une API de dilatation par homothétie apporte de la valeur
Les plugins CAD, éditeurs de jeux et outils SVG placent souvent une figure par rapport à une ancre puis la mettent à l'échelle autour de cette ancre ; appeler une petite API parse évite de réimplémenter la même formule à cinq nombres dans chaque langage hôte. Comme l'implémentation est parse pure de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Questions techniques
Que signifie le rapport k ?
k multiplie les vecteurs depuis le centre : |k|>1 agrandit, 0<|k|<1 réduit, k<0 est une homothétie opposée (à travers le centre), k=1 est l'identité et k=0 envoie tout point au centre.
Que se passe-t-il si le rapport n'est pas numérique ?
La tâche échoue avec invalid_input. Le rapport k doit être un nombre fini (nombre JSON ou chaîne numérique) ; un texte comme not-a-number est rejeté et n'est pas facturé.
Combien coûte le calculateur de dilatation par homothétie ?
L'outil dans le navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde KIT prépayé à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.