Calculadora de homotecia
Encuentre dónde cae un punto tras una homotecia: el punto (4, 2) con razón 2 respecto al origen va a (8, 4). Sirve cualquier centro y cualquier razón, incluidas las negativas, que llevan el punto al otro lado del centro. Gratis en su navegador.
- Gratis
- Funciona en su navegador
- Sin registro
- Sus datos no salen de su equipo
Ejecutar — gratis
Ejemplo resuelto
- X
- 4
- Y
- 2
- Cx
- 0
- Cy
- 0
- K
- 2
- Imagen (x)
- 8
- Imagen (y)
- 4
- Dx
- 4
- Dy
- 2
La homotecia, también llamada dilatación o semejanza central, envía cada punto P del plano a una imagen P prima situada sobre el rayo que va del centro fijo C a través de P, escalada por una razón real k. La identidad vectorial definitoria es P prima igual a C más k veces el vector de C a P, de modo que las distancias al centro se multiplican por el valor absoluto de k mientras se conservan los ángulos en el centro. Los estudiantes encuentran esta aplicación al estudiar figuras semejantes, teoremas de Tales y semejanzas en espiral; los diseñadores usan k positiva para ampliar o reducir una figura respecto a un ancla; k negativa produce una homotecia opuesta que refleja a través del centro al escalar.
Qué hace una homotecia plana y cómo se calcula la imagen
Una homotecia plana con centro C igual al punto de coordenadas cx y cy y razón k es la única aplicación que envía cada punto P de coordenadas x e y a la imagen P prima definida por la fórmula vectorial P prima igual a C más k veces paréntesis abierto P menos C paréntesis cerrado. Cuando k vale uno la aplicación es la identidad y la imagen coincide con el punto original.
Cuando k vale cero todo punto se colapsa en el centro, de modo que la imagen es siempre C. Cuando k está estrictamente entre cero y uno la figura se reduce hacia C permaneciendo en los mismos rayos. Cuando k es mayor que uno la figura se amplía alejándose de C.
Cuando k es negativa la imagen yace en el rayo opuesto a través de C, de modo que la aplicación es una homotecia opuesta que escala por el valor absoluto de k y refleja a través del centro a la vez; el caso clásico k igual a menos uno es una simetría central, también llamada reflexión puntual o semigiro en torno a C.
La homotecia conserva los ángulos en el centro y multiplica todas las distancias medidas desde C por el valor absoluto de k, razón por la cual las figuras semejantes construidas por dilatación mantienen la misma forma. Las rectas paralelas siguen paralelas, las circunferencias se envían a circunferencias y los segmentos a segmentos cuyas longitudes escalan por el valor absoluto de k.
Dónde le ayuda calcular una homotecia
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora de dilatación por homotecia para que el alumnado compruebe coordenadas de imagen con centros y razones arbitrarios sin errores de signo al expandir a mano k veces paréntesis abierto x menos cx paréntesis cerrado. Los generadores de exámenes necesitan un oráculo determinista que marque como errónea una razón no numérica en lugar de inventar en silencio un factor de escala. La validación fallida no consume saldo.
Mantenga las peticiones pequeñas, fije las coordenadas de imagen redondeadas en las pruebas y obtendrá dilataciones reproducibles para deberes, plugins LMS y workers en el borde sin montar un sistema completo de álgebra computacional o gráficos propio.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de dilatación en el aula
Permita que el alumnado introduzca un punto, un centro y una razón k y verifique las coordenadas de la imagen frente a la identidad del manual P′ = C + k(P − C).
Autocalificación de exámenes y LMS
Califique ítems de homotecia con un oráculo determinista que rechaza razones no numéricas y devuelve coordenadas de imagen estables a doce decimales.
Anclas en CAD, juegos y SVG
Escale un punto de diseño alrededor de un ancla arbitraria en scripts y workers en el borde sin reescribir la fórmula de dilatación en cada cliente.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la imagen de un punto bajo una homotecia?
Envíe números finitos x, y del punto, cx, cy del centro y k de la razón.
¿El centro tiene que ser el origen?
No. Cualquier centro finito (cx, cy) es válido. La fórmula siempre dilata respecto a ese centro, no respecto al origen de coordenadas, salvo que fije cx y cy en cero.
¿Qué hace una razón negativa en una homotecia?
La imagen cae al otro lado del centro, escalada según el tamaño de la razón. Una razón de −1 es una simetría central: el punto (2, 0) respecto al origen va a (−2, 0).
¿Qué ocurre con una razón de 0 o de 1?
Una razón de 1 es la identidad y deja cada punto exactamente donde está. Una razón de 0 lleva todos los puntos al centro, así que la imagen siempre es el propio centro.
¿Qué propiedades conserva una homotecia?
Los ángulos no cambian, las rectas paralelas siguen paralelas y las circunferencias van a circunferencias. Cada distancia medida desde el centro se multiplica por el valor absoluto de la razón, por eso las figuras quedan semejantes.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":4,"y":2,"cx":0,"cy":0,"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x": 4,
"y": 2,
"cx": 0,
"cy": 0,
"k": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": 4,
"y": 2,
"cx": 0,
"cy": 0,
"k": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":4,"y":2,"cx":0,"cy":0,"k":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":4,"y":2,"cx":0,"cy":0,"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/homothety", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"x": 4,
"y": 2,
"cx": 0,
"cy": 0,
"k": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.homothety",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Esta calculadora de dilatación por homotecia acepta las coordenadas del punto, el centro y la razón, devuelve las coordenadas exactas de la imagen con el vector de desplazamiento intermedio, y falla de forma limpia con invalid_input cuando la razón o cualquier coordenada falta o no es numérica.
Qué hace una homotecia plana y cómo se calcula la imagen
Al expandir por componentes se obtiene image_x igual a cx más k veces paréntesis abierto x menos cx paréntesis cerrado e image_y igual a cy más k veces paréntesis abierto y menos cy paréntesis cerrado.
Contrato de entrada, campos de respuesta y comportamiento de error
Ejemplo: punto cuatro coma dos, centro cero coma cero, razón dos produce imagen ocho coma cuatro porque el vector de desplazamiento es cuatro coma dos y al duplicarlo desde el origen se obtiene ocho coma cuatro. Ejemplo con centro no origen: punto cinco coma uno, centro uno coma uno, razón tres produce imagen trece coma uno, porque el desplazamiento es cuatro coma cero, por tres es doce coma cero, sumado al centro es trece coma uno. Ejemplo de razón negativa: punto dos coma cero, centro cero coma cero, razón menos uno produce imagen menos dos coma cero, la simetría central del punto. Combine la respuesta con su propio código de dibujo si necesita un croquis de rayos y segmentos escalados; este extremo devuelve solo coordenadas y no emite gráficos ni prosa paso a paso más allá del campo formula. Envíe por POST un cuerpo JSON con cinco números finitos obligatorios: x e y del punto a dilatar, cx y cy del centro de homotecia, y k de la razón. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; cadenas vacías, claves ausentes, texto no numérico y valores no finitos como NaN o Infinity fallan con invalid_input nombrando el campo. Se rechazan valores absolutos mayores que un billón (10^12) para mantener finitos los productos intermedios en el Worker. En caso de éxito el cuerpo hace eco de x, y, cx, cy y k; informa image_x e image_y como coordenadas dilatadas; incluye dx y dy como desplazamiento del centro al punto original antes del escalado; y fija method en homothety_dilation con una cadena de fórmula breve que reafirma la identidad vectorial. Ejemplo de razón inválida: enviar k como la cadena not-a-number falla con invalid_input y no se factura.
Dónde una API de dilatación por homotecia aporta valor
Los complementos CAD, editores de juegos y herramientas SVG suelen situar una figura respecto a un ancla y luego escalar alrededor de ese ancla; llamar a una API parse pequeña evita reimplementar la misma fórmula de cinco números en cada lenguaje anfitrión. Como la implementación es parse pura de nivel A, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo ni red saliente.
Preguntas técnicas
¿Qué significa la razón k?
k multiplica los vectores desde el centro: |k|>1 amplía, 0<|k|<1 reduce, k<0 es homotecia opuesta (a través del centro), k=1 es la identidad y k=0 envía todo punto al centro.
¿Qué ocurre si la razón no es numérica?
La tarea falla con invalid_input. La razón k debe ser un número finito (número JSON o cadena numérica); un texto como not-a-number se rechaza y no se factura.
¿Cuánto cuesta la calculadora de dilatación por homotecia?
La herramienta en el navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo KIT prepago a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.