Calcolatrice di omotetia

L'omotetia, detta anche dilatazione o similitudine centrale, mappa ogni punto P del piano in un'immagine P primo che giace sul raggio dal centro fisso C attraverso P, scalata da un rapporto reale k. L'identità vettoriale definitoria è P primo uguale a C più k volte il vettore da C a P, così le distanze dal centro si moltiplicano per il valore assoluto di k mentre gli angoli al centro restano preservati. Gli studenti incontrano questa applicazione studiando figure simili, teoremi di intercetta e similitudini a spirale; i progettisti usano k positivo per ingrandire o ridurre una figura attorno a un'ancora; k negativo produce un'omotetia opposta che riflette attraverso il centro mentre scala.

Cosa fa un'omotetia piana e come si calcola l'immagine

Un'omotetia piana con centro C uguale al punto di coordinate cx e cy e rapporto k è l'unica applicazione che manda ogni punto P di coordinate x e y all'immagine P primo definita dalla formula vettoriale P primo uguale a C più k volte parentesi aperta P meno C parentesi chiusa. Quando k vale uno l'applicazione è l'identità e l'immagine coincide con il punto originale. Quando k vale zero ogni punto collassa sul centro, quindi l'immagine è sempre C.

Quando k è strettamente compreso tra zero e uno la figura si contrae verso C restando sugli stessi raggi. Quando k è maggiore di uno la figura si ingrandisce allontanandosi da C. Quando k è negativo l'immagine giace sul raggio opposto attraverso C, quindi l'applicazione è un'omotetia opposta che scala per il valore assoluto di k e riflette attraverso il centro contemporaneamente; il caso classico k uguale a meno uno è una simmetria centrale, detta anche riflessione puntuale o semirotazione attorno a C.

L'omotetia preserva gli angoli al centro e moltiplica tutte le distanze misurate da C per il valore assoluto di k, ed è per questo che le figure simili costruite per dilatazione mantengono la stessa forma. Le rette parallele restano parallele, i cerchi si mappano in cerchi e i segmenti in segmenti le cui lunghezze scalano per il valore assoluto di k.

Dove serve calcolare un'omotetia

Le aule e le piattaforme di tutoraggio usano una calcolatrice di dilatazione per omotetia affinché gli studenti possano verificare le coordinate dell'immagine per centri e rapporti arbitrari senza errori di segno espandendo a mano k volte parentesi aperta x meno cx parentesi chiusa. I generatori di esami necessitano di un oracolo deterministico che segni come errato un rapporto non numerico invece di inventare in silenzio un fattore di scala. La validazione fallita non consuma il saldo.

Mantenga le richieste piccole, fissi le coordinate dell'immagine arrotondate nei test e otterrà dilatazioni riproducibili per compiti, plugin LMS e worker edge senza erigere una stack completa di algebra computazionale o grafica propria.