Calculadora de homotetia

A homotetia, também chamada dilatação ou semelhança central, envia cada ponto P do plano a uma imagem P linha situada no raio que vai do centro fixo C através de P, escalada por uma razão real k. A identidade vetorial definidora é P linha igual a C mais k vezes o vetor de C a P, de modo que as distâncias ao centro se multiplicam pelo valor absoluto de k enquanto os ângulos no centro se preservam. Os estudantes encontram essa transformação ao estudar figuras semelhantes, teoremas de interceptação e semelhanças em espiral; designers usam k positiva para ampliar ou reduzir uma figura em torno de uma âncora; k negativa produz uma homotetia oposta que reflete através do centro ao escalar.

O que uma homotetia plana faz e como a imagem é calculada

Uma homotetia plana com centro C igual ao ponto de coordenadas cx e cy e razão k é a única transformação que envia cada ponto P de coordenadas x e y à imagem P linha definida pela fórmula vetorial P linha igual a C mais k vezes parêntese aberto P menos C parêntese fechado. Quando k vale um a transformação é a identidade e a imagem coincide com o ponto original. Quando k vale zero todo ponto colapsa no centro, de modo que a imagem é sempre C.

Quando k está estritamente entre zero e um a figura encolhe em direção a C permanecendo nos mesmos raios. Quando k é maior que um a figura se amplia afastando-se de C.

Quando k é negativa a imagem jaz no raio oposto através de C, de modo que a transformação é uma homotetia oposta que escala pelo valor absoluto de k e reflete através do centro ao mesmo tempo; o caso clássico k igual a menos um é uma simetria central, também chamada reflexão pontual ou meia-volta em torno de C.

A homotetia preserva os ângulos no centro e multiplica todas as distâncias medidas a partir de C pelo valor absoluto de k, razão pela qual figuras semelhantes construídas por dilatação mantêm a mesma forma. Retas paralelas permanecem paralelas, circunferências mapeiam em circunferências e segmentos em segmentos cujos comprimentos escalam pelo valor absoluto de k.

Onde calcular uma homotetia ajuda

Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de dilatação por homotetia para que os alunos verifiquem coordenadas de imagem com centros e razões arbitrários sem erros de sinal ao expandir à mão k vezes parêntese aberto x menos cx parêntese fechado. Geradores de exames precisam de um oráculo determinístico que marque como errada uma razão não numérica em vez de inventar em silêncio um fator de escala. A validação falha não consome saldo.

Mantenha as requisições pequenas, fixe as coordenadas de imagem arredondadas nos testes e você obterá dilatações reproduzíveis para lição de casa, plugins LMS e workers na borda sem montar um sistema completo de álgebra computacional ou gráficos próprio.