Primsignatur-Rechner

Eine Primsignatur beschreibt die Form der Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl, ohne die Primzahlbasen beizubehalten. Dazu wird die Zahl faktorisiert, die positiven Exponenten werden gesammelt und absteigend sortiert. Beispielsweise ist 360 gleich 2 hoch 3 mal 3 hoch 2 mal 5; die Signatur lautet daher [3, 2, 1]. Er eignet sich immer dann, wenn die Struktur der Faktorisierung wichtiger als die beteiligten Primzahlen ist.

Was eine Primsignatur darstellt

Jede positive ganze Zahl größer als eins besitzt bis auf die Reihenfolge der Faktoren eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Ist n gleich p1 hoch e1, multipliziert mit p2 hoch e2 und weiteren Faktoren, dann ist ihre Primsignatur die Multimenge der Exponenten e1, e2 und der übrigen Werte, üblicherweise vom größten zum kleinsten geordnet. Die Basen entfallen; übrig bleibt nur die multiplikative Form.

So ist 12 gleich 2 hoch 2 mal 3 und 18 gleich 2 mal 3 hoch 2; beide haben die Signatur [2, 1], obwohl die Exponenten anderen Basen zugeordnet sind. Dagegen besitzt 64 die Signatur [6], weil es eine einzelne Primzahlpotenz ist. Die Sortierung macht die Darstellung kanonisch: Gleiche Signaturen lassen sich als identische Arrays vergleichen, ohne die Reihenfolge der Faktoren zu beachten.

Die Zahl 1 hat keine Primfaktoren und daher gemäß der Konvention der leeren Faktorisierung die Signatur []. Der Rechner gibt dieses kanonische Array direkt zurück und bietet damit eine kompakte Invariante, ohne Primzahlbasen offenzulegen oder zu speichern.

Zahl eingeben und Ergebnis verstehen

Geben Sie n als positive dezimale ganze Zahl an. Eine gewöhnliche Zahl wird akzeptiert, wenn sie im sicheren Ganzzahlbereich von JavaScript liegt; eine Dezimalzeichenfolge wird empfohlen, weil sie jede Ziffer exakt bewahrt und größere Werte innerhalb der veröffentlichten Grenze von 18 Stellen unterstützt. Die Antwort enthält das normalisierte n als Dezimalzeichenfolge sowie signature als Array positiver ganzzahliger Exponenten in absteigender Reihenfolge.

Eine Primzahl ergibt [1], eine Primzahlpotenz p hoch k ergibt [k], und eine quadratfreie zusammengesetzte Zahl liefert für jeden verschiedenen Primfaktor einen Eintrag 1. Der Wert 1 ergibt ein leeres Array. Eine deterministische Probedivision ermittelt jeden Exponenten; anschließend erzeugt eine numerisch absteigende Sortierung die kanonische Multimenge.

Netzwerk, Zufall und Uhrzeit beeinflussen das Ergebnis nicht, sodass wiederholte Aufrufe stabil bleiben.

Nutzen von Signaturen in der Zahlentheorie

Primsignaturen gruppieren ganze Zahlen nach ihrem Faktorisierungsmuster. Diese Sichtweise hilft beim Untersuchen multiplikativer Funktionen, deren Werte nur von Exponenten abhängen, beim Erstellen von Partitionsbeispielen, beim Klassifizieren vollkommener Potenzen und beim Vergleichen struktureller Eigenschaften unabhängig von den vorkommenden Primzahlen. Die Teileranzahl verdeutlicht dies: Eine Zahl mit Signatur [e1, e2, ...] hat als Anzahl positiver Teiler das Produkt der jeweils um eins erhöhten Exponenten.

An den Einträgen erkennen Sie außerdem sofort, ob eine Zahl prim, quadratfrei, eine Primzahlpotenz, ein vollkommenes Quadrat oder allgemein eine vollkommene k-te Potenz ist. Lehrkräfte können das Faktorisieren von der Analyse der Exponentenmuster trennen; Wettbewerbsprogramme und Datenpipelines können das kompakte Array als Gruppierungsschlüssel verwenden. Da die Ausgabe die Primzahlbasen absichtlich auslässt, verwenden Sie zur Rekonstruktion von n oder zur Prüfung seiner Teiler einen Primfaktorzerlegungsrechner.