Jordan-Totient J_k(n) aus Primfaktoren berechnen

Die Jordan-Totientfunktion J_k(n) verallgemeinert Eulers Totient, indem sie k-Tupel ganzer Zahlen modulo n zählt, die ein freies Z-Modul vom Rang k erzeugen, oder gleichwertig über die Produktformel n^k mal das Produkt über die Primteiler p von n von (1 minus p hoch minus k). Wenn die Ordnung k gleich eins ist, liefert J_1(n) genau φ(n). Dieser Rechner nimmt eine positive ganze Zahl n und eine positive Ordnung k entgegen, faktorisiert n durch deterministische Probedivision und wertet das klassische Primzahlpotenzprodukt aus, sodass Sie ein exaktes ganzzahliges J_k(n) ohne Gleitkomma-Drift und ohne externe Dienste erhalten. Nutzen Sie ihn für Hausaufgabenprüfungen, Gitterpunktzählungen und zahlentheoretische Pipelines, die auf exakte Arithmetik vertrauen.

Was die Jordan-Totient misst und warum sie zählt

Eulers Totient φ(n) zählt die Restklassen modulo n, die teilerfremd zu n sind. Jordans Funktion hebt diese Zählung auf höheren Rang: J_k(n) ist die Anzahl der k-Tupel ganzer Zahlen in {1, …, n}^k, die als Menge teilerfremd zu n sind, im Sinne dass der größte gemeinsame Teiler aller k Koordinaten zusammen mit n eins ist.

Gleichwertig ist es die Ordnung der Gruppe invertierbarer k-mal-k-Matrizen über dem Ring der ganzen Zahlen modulo n, die auf Elementarform reduzierbar sind, und es erscheint als Grad der Erweiterung des Kreisteilungskörpers beim Studium von Gittern und speziellen Werten der Dedekindschen Zetafunktion. Für eine Primzahlpotenz p hoch a ist die geschlossene Form p hoch k mal (a minus eins) mal (p hoch k minus eins), und Multiplikativität über teilerfremde Faktoren liefert das globale Produkt.

Ingenieure und Wettbewerbsautoren treffen J_k, wenn sie freie Erzeuger von Moduln zählen, Einheitengruppen von Matrizenringen über Z/nZ dimensionieren oder Identitäten prüfen, die sich bei k gleich eins auf φ reduzieren. Sowohl den Totientenwert als auch die Faktorisierung zurückzugeben, die ihn erzeugte, beseitigt eine häufige Quelle von Off-by-one-Fehlern in Hausaufgabenprüfern, CAS-Vergleichen und ganzzahligen Pipelines, die sonst die Faktorisierung ad hoc für jede Aufgabe neu implementieren würden.

Wie dieser Rechner J_k(n) aus Primfaktoren auswertet

Rufen Sie die Fähigkeit mit zwei positiven ganzzahligen Feldern auf: n und k. Die Implementierung faktorisiert n durch Probedivision, indem sie Faktoren von zwei abspaltet, dann ungerade Kandidaten bis zur Quadratwurzel und schließlich jeden verbleibenden primen Kofaktor. Aus dieser geordneten Liste wendet sie die exakte ganzzahlige Form des Jordan-Produkts an: für jede Primzahlpotenz p hoch a, die n teilt, multipliziert sie das laufende Ergebnis mit p hoch k mal (a minus eins) mal (p hoch k minus eins).

Potenzen werden mit beliebig genauen ganzen Zahlen berechnet, damit Zwischenwerte exakt bleiben; das Endergebnis muss in eine sichere JavaScript-Ganzzahl passen, damit Clients eine einfache Zahl erhalten. Wenn k gleich eins ist, reproduziert derselbe Pfad Eulers Produktformel, sodass J_1(n) für jedes akzeptierte n mit φ(n) übereinstimmt. Die Antwort enthält n, k, jordan, die Faktorenliste als Paare aus Primzahl und Exponent sowie eine kurze Formelzeichenkette zur Dokumentation.

Praktischer Einsatz, Grenzen, Preis und Lieferung

Nutzen Sie das Browser-Werkzeug, wenn Sie eine sofortige Antwort wünschen, während Sie multiplikative Zahlentheorie studieren, eine Lehrbuchidentität prüfen, die sich auf Eulers Totient spezialisiert, oder eine Gitterpunktzählung debuggen. Akzeptierte Bereiche sind n von eins bis eine Billion und k von eins bis zwanzig, was typische Wettbewerbs-, Unterrichts- und Anwendungsgrößen abdeckt und Probedivision praktikabel hält. Ergebnisse sind deterministisch: dieselben n und k liefern immer denselben jordan-Wert und dieselbe Faktorenliste.

Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Faktorisierungsdienst und keine Zufälligkeit, sodass die Fähigkeit in automatisierten Tests festgenagelt werden kann. Verbinden Sie den Endpunkt mit zahlentheoretischen Demos, kryptografischen Lehrsandkästen, die φ mit Jordan-Zählungen höherer Ordnung kontrastieren, oder ganzzahligen Vorverarbeitungsschritten, bei denen Sie bereits exakter Arithmetik mehr vertrauen als Näherungsheuristiken und ein preislich bepreistes Element pro Paar brauchen.