Totiente de Jordan J_k(n) a partir dos fatores primos

A função totiente de Jordan J_k(n) generaliza a totiente de Euler contando k-uplas de inteiros módulo n que geram um Z-módulo livre de posto k, ou de forma equivalente pela fórmula produto n^k vezes o produto sobre os primos p que dividem n de (1 menos p à menos k). Quando a ordem k vale um, J_1(n) recupera exatamente φ(n). Esta calculadora recebe um inteiro positivo n e uma ordem positiva k, fatora n por divisão de prova determinística e avalia o produto clássico de potências primas para obter um inteiro exato J_k(n) sem deriva de ponto flutuante nem serviços externos. Use-a para conferir exercícios, contagens de pontos de rede e pipelines de teoria dos números que já confiam em aritmética exata.

O que a totiente de Jordan mede e por que importa

A totiente de Euler φ(n) conta as classes de resíduo módulo n coprimas com n. A função de Jordan eleva essa contagem a posto superior: J_k(n) é o número de k-uplas de inteiros em {1, …, n}^k relativamente primas como conjunto a n, no sentido de que o máximo divisor comum de todas as k coordenadas junto com n é um.

De forma equivalente, é a ordem do grupo de matrizes invertíveis k por k sobre o anel de inteiros módulo n redutíveis à forma elementar, e aparece como o grau da extensão do corpo ciclotômico ao estudar reticulados e valores especiais da zeta de Dedekind. Para uma potência prima p à a a forma fechada é p à k vezes (a menos um) vezes (p à k menos um), e a multiplicatividade sobre fatores coprimos produz o produto global.

Engenheiros e autores de competições encontram J_k ao contar geradores livres de módulos, dimensionar grupos de unidades de anéis de matrizes sobre Z/nZ ou verificar identidades que se reduzem a φ quando k é um. Devolver o valor da totiente e a fatoração que o produziu elimina uma fonte comum de erros de desvio em corretores de exercícios, comparações com CAS e pipelines inteiros que, de outro modo, reimplementariam a fatoração ad hoc em cada exercício.

Como esta calculadora avalia J_k(n) a partir dos fatores primos

Chame a capacidade com dois campos inteiros positivos: n e k. A implementação fatore n por divisão de prova separando fatores de dois, depois candidatos ímpares até a raiz quadrada e, por fim, qualquer cofator primo restante. A partir dessa lista ordenada aplica a forma inteira exata do produto de Jordan: para cada potência prima p à a que divide n, multiplica o resultado acumulado por p elevado a k vezes (a menos um) vezes (p à k menos um).

As potências são calculadas com inteiros de precisão arbitrária para que os intermediários permaneçam exatos; o resultado final deve caber em um inteiro seguro de JavaScript para que os clientes recebam um número simples. Quando k vale um, o mesmo caminho reproduz a fórmula produto de Euler, de modo que J_1(n) coincide com φ(n) para todo n aceito. A resposta inclui n, k, jordan, a lista de fatores como pares primo e expoente, e uma string curta de fórmula para documentação.

Uso prático, limites, preço e entrega

Use a ferramenta do navegador quando quiser uma resposta imediata ao estudar teoria dos números multiplicativa, conferir uma identidade de livro que se especializa na totiente de Euler ou depurar uma contagem de pontos de rede. Os intervalos aceitos são n de um até um trilhão e k de um até vinte, cobrindo tamanhos típicos de competição, sala de aula e aplicação e mantendo a divisão de prova prática. Os resultados são determinísticos: o mesmo n e k sempre geram o mesmo valor jordan e a mesma lista de fatores.

Não há modelo de linguagem, nem serviço externo de fatoração, nem aleatoriedade, de modo que a capacidade é segura para fixar em testes automatizados.