Totiente de Euler φ(n): coprimos a partir dos fatores primos
O totiente de Euler de 36 é 12: essa é a quantidade de números de 1 a 36 sem fator primo em comum com 36. Digite qualquer inteiro positivo até um trilhão e receba a contagem exata e os fatores primos. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 36
- Fi
- 12
- Contagem de coprimos
- 12
A função totiente de Euler φ(n) responde a uma pergunta de contagem em teoria dos números: entre os inteiros de 1 até n, quantos não compartilham nenhum fator primo com n? Essa contagem aparece em aritmética modular, na preparação de chaves RSA, na ordem de grupos cíclicos e na contagem de frações em forma reduzida. Esta calculadora recebe um inteiro positivo n, constrói sua fatoração prima por divisão de teste determinística e avalia a fórmula clássica do produto, de modo que você obtém um φ(n) exato sem aproximações em ponto flutuante nem serviços externos.
O que a totiente de Euler mede e por que importa
Dois inteiros são coprimos quando o máximo divisor comum é um. A totiente de Euler φ(n) é o tamanho do conjunto de resíduos de um até n que satisfazem essa condição. Para um primo p a resposta é p menos um, porque todo inteiro positivo menor é coprimo com p.
Para uma potência p elevada a k a resposta é p^k menos p^(k−1), removendo os múltiplos de p. Para um n geral, o teorema chinês do resto multiplica as contagens locais, e por isso a fórmula fechada do produto funciona. Engenheiros encontram φ(n) quando precisam da ordem do grupo multiplicativo de unidades módulo n, ao escolher expoentes públicos RSA coprimos com φ do módulo, ao contar frações reduzidas com denominador n ou ao dimensionar o comprimento de ciclo de um gerador congruencial linear.
Como esta calculadora avalia φ(n) a partir dos fatores primos
Chame a capacidade com um campo inteiro positivo n. A implementação fatore n por divisão de teste: remove fatores de dois, depois candidatos ímpares até a raiz quadrada e, por fim, qualquer cofator primo restante. Dessa lista ordenada aplica a forma inteira exata do produto de Euler: começa com phi igual a n e, para cada primo distinto p que divide n, substitui phi por floor(phi/p) vezes (p menos um).
Como cada primo é processado uma vez, potências altas não exigem uma soma geométrica separada; a fórmula já incorpora a densidade correta.
Uso prático, limites, preços e entrega
Use a ferramenta do navegador quando quiser uma resposta imediata ao estudar, depurar um passo de exponentiação modular ou conferir um exercício de livro. O intervalo aceito vai de um até um trilhão (10^12), o que mantém produtos intermediários dentro de inteiros seguros de JavaScript e cobre tamanhos típicos de competições, sala de aula e aplicações. Os resultados são determinísticos: o mesmo n sempre produz o mesmo phi e a mesma lista de fatores.
Não há modelo de linguagem, serviço externo de fatoração nem aleatoriedade, então a capacidade é segura para fixar em testes automatizados.
Casos de uso
Verificação de tarefas e competições
Alunos e corretores podem confirmar φ(n) para inteiros positivos arbitrários e inspecionar os fatores primos usados pela fórmula, sem depender de um CAS local.
Tutoriais de cripto e aritmética modular
Materiais que apresentam RSA ou ordens multiplicativas podem calcular φ de módulos de exemplo sob demanda e mostrar a fatoração ao lado da totiente.
Perguntas frequentes
O que acontece se n for menor que 1?
A totiente de Euler só é definida para inteiros positivos; zero e negativos são rejeitados e não cobrados.
Como φ(n) é calculado?
n é fatorado por divisão de teste e, em seguida, a fórmula do produto φ(n) = n · Π (1 − 1/p) sobre os fatores primos distintos p é avaliada com passos inteiros exatos.
A calculadora da totiente de Euler é gratuita?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
Qual é o maior n que posso enviar?
Inteiros de 1 a 1,000,000,000,000 (1e12) são aceitos. Valores maiores são rejeitados para que a aritmética permaneça no intervalo de inteiros seguros.
Qual é o totiente de 36?
É 12. Como 36 = 2² × 3², multiplique 36 por (1 − 1/2) e por (1 − 1/3): o resultado é 12, então doze números de 1 a 36 são coprimos com 36.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":36}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 36
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 36
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":36}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":36}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 36
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.euler_totient",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 1000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que a totiente de Euler mede e por que importa
Um único endpoint determinístico que devolve a totiente e os fatores que a produziram elimina erros de off-by-one em corretores de tarefas, tutoriais de cripto e pipelines de inteiros que de outro modo reimplementariam a fatoração de forma ad hoc.
Como esta calculadora avalia φ(n) a partir dos fatores primos
A resposta inclui n, phi, a lista de fatores como pares primo-expoente e coprime_count como alias explícito de phi para quem prefere um nome autoexplicativo. Entradas abaixo de um, não inteiras, n ausente e valores acima do limite publicado são rejeitadas como invalid_input e nunca são cobradas.
Uso prático, limites, preços e entrega
Use a API quando um script, job de CI ou plataforma educacional precisar de φ(n) para muitos valores sem embutir uma biblioteca de fatoração. Cada requisição bem-sucedida é um item faturável a US$ 0,002; validação falha não consome saldo. Conecte o endpoint a demos de teoria dos números, sandboxes de ensino de cripto ou etapas de pré-processamento de inteiros em que você já confia mais na aritmética exata do que em heurísticas aproximadas.
Casos de integração
Pipelines automatizados de teoria dos números
Scripts que enumeram frações reduzidas, comprimentos de ciclo ou tamanhos de grupos de unidades podem chamar um único endpoint determinístico com preço por item em vez de embutir código de fatoração.
Perguntas técnicas
Como calculo a totiente de Euler φ(n) com esta API?
Envie um corpo JSON com o campo inteiro positivo n para a capacidade numth.euler_totient. A resposta devolve phi, a fatoração prima ordenada e coprime_count igual a phi.