Totiente de Euler φ(n): coprimos desde factores primos
El totiente de Euler de 36 es 12: esa es la cantidad de números del 1 al 36 que no comparten ningún factor primo con 36. Escriba cualquier entero positivo hasta un billón y obtenga el recuento exacto y sus factores primos. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 36
- Fi
- 12
- Recuento de coprimos
- 12
La función totiente de Euler φ(n) responde a una pregunta de conteo en teoría de números: entre los enteros de 1 a n, ¿cuántos no comparten ningún factor primo con n? Ese recuento aparece en aritmética modular, en la preparación de claves RSA, en el orden de grupos cíclicos y al contar fracciones en forma reducida. Esta calculadora toma un entero positivo n, construye su factorización prima por división de prueba determinista y evalúa la fórmula clásica del producto, de modo que obtiene un φ(n) exacto sin aproximaciones en coma flotante ni servicios externos.
Qué mide el totiente de Euler y por qué importa
Dos enteros son coprimos cuando su máximo común divisor es uno. El totiente de Euler φ(n) es el tamaño del conjunto de residuos entre uno y n que cumplen esa condición. Si p es primo, la respuesta es p menos uno, porque todo entero positivo menor es coprimo con p.
Si es una potencia p elevada a k, la respuesta es p^k menos p^(k−1), al descartar los múltiplos de p. Para un n general, el teorema chino del resto multiplica los conteos locales, y por eso funciona la fórmula cerrada del producto. Los ingenieros se encuentran con φ(n) cuando necesitan el orden del grupo multiplicativo de unidades módulo n, al elegir exponentes públicos RSA coprimos con φ del módulo, al contar fracciones reducidas con denominador n o al dimensionar la longitud de ciclo de un generador congruencial lineal.
Un único extremo determinista que devuelve el totiente y los factores que lo produjeron elimina errores de desfase en correctores de tareas, tutoriales de criptografía y tuberías de enteros que de otro modo reimplementarían la factorización de forma ad hoc.
Cómo evalúa esta calculadora φ(n) desde los factores primos
Invoque la capacidad con un campo entero positivo n. La implementación factoriza n por división de prueba: separa los factores de dos, luego candidatos impares hasta la raíz cuadrada y, al final, cualquier cofactor primo restante. Con esa lista ordenada aplica la forma entera exacta del producto de Euler: parte de phi igual a n y, por cada primo distinto p que divide a n, sustituye phi por floor(phi/p) veces (p menos uno).
Como cada primo se procesa una sola vez, las potencias altas no exigen una suma geométrica aparte; la fórmula ya incorpora la densidad correcta.
Uso práctico, límites, precios y entrega
Use la herramienta del navegador cuando quiera una respuesta inmediata al estudiar, depurar un paso de exponentación modular o comprobar un ejercicio de libro. El rango admitido va de uno a un billón (10^12), lo que mantiene los productos intermedios dentro de enteros seguros de JavaScript y cubre tamaños típicos de concursos, aula y aplicaciones. Los resultados son deterministas: el mismo n produce siempre el mismo phi y la misma lista de factores.
No hay modelo de lenguaje, ni servicio externo de factorización, ni aleatoriedad, así que la capacidad es segura para fijar en pruebas automatizadas. Conecte el extremo a demostraciones de teoría de números, sandboxes de enseñanza de criptografía o pasos de preprocesado de enteros donde confía más en la aritmética exacta que en heurísticas aproximadas.
Qué puede hacer con ella
Verificación de tareas y concursos
Estudiantes y correctores pueden confirmar φ(n) para enteros positivos arbitrarios e inspeccionar los factores primos que usó la fórmula, sin depender de un CAS local.
Tutoriales de criptografía y aritmética modular
Materiales que introducen RSA u órdenes multiplicativos pueden calcular φ de módulos de ejemplo bajo demanda y mostrar la factorización junto al totiente.
Tuberías automatizadas de teoría de números
Scripts que enumeran fracciones reducidas, longitudes de ciclo o tamaños de grupos de unidades pueden llamar a un único extremo determinista con precio por ítem en lugar de incrustar código de factorización.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si n es menor que 1?
El totiente de Euler solo se define para enteros positivos; el cero y los negativos se rechazan y no se cobran.
¿Cómo se calcula φ(n)?
n se factoriza por división de prueba y luego se evalúa la fórmula del producto φ(n) = n · Π (1 − 1/p) sobre los factores primos distintos p con pasos enteros exactos.
¿Es gratuita la calculadora del totiente de Euler?
La herramienta del navegador se ejecuta gratis en su dispositivo.
¿Cuál es el mayor n que puedo enviar?
Se admiten enteros de 1 a 1,000,000,000,000 (1e12). Valores mayores se rechazan para que la aritmética permanezca en el rango de enteros seguros.
¿Cuál es el totiente de 36?
Es 12. Como 36 = 2² × 3², multiplique 36 por (1 − 1/2) y por (1 − 1/3): el resultado es 12, así que doce números del 1 al 36 son coprimos con 36.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":36}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient", {
method: "POST",
headers: {
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"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":36}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":36}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 36
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.euler_totient",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_n | 1000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo evalúa esta calculadora φ(n) desde los factores primos
La respuesta incluye n, phi, la lista de factores como pares primo-exponente y coprime_count como alias explícito de phi para quienes prefieren un nombre autoexplicativo. Entradas menores que uno, no enteras, n ausente y valores por encima del límite publicado se rechazan como invalid_input y no se cobran.
Uso práctico, límites, precios y entrega
Use la API cuando un script, un trabajo de CI o una plataforma educativa necesite φ(n) para muchos valores sin empaquetar una biblioteca de factorización. Cada petición exitosa es un ítem facturable a $0.002; la validación fallida no consume saldo.
Preguntas técnicas
¿Cómo calculo el totiente de Euler φ(n) con esta API?
Envíe un cuerpo JSON con el campo entero positivo n a la capacidad numth.euler_totient. La respuesta devuelve phi, la factorización prima ordenada y coprime_count igual a phi.