Calculadora de la función de Carmichael

La función de Carmichael λ(n) responde a una pregunta más precisa que la función totiente de Euler: ¿cuál es el exponente positivo más pequeño m tal que todo entero a coprimo con n satisface a^m ≡ 1 (mod n)? Ese único entero es el exponente del grupo multiplicativo de unidades módulo n, y aparece en los esquemas de claves RSA, en pruebas relacionadas con primalidad, y en ejercicios de aula sobre órdenes modulares. Esta calculadora toma un entero positivo, lo factoriza de forma determinista con aritmética BigInt, aplica la fórmula de potencia prima para λ, y devuelve el mínimo común múltiplo como una cadena decimal exacta.

Qué mide la función de Carmichael

La función totiente de Euler φ(n) cuenta cuántas clases de residuo módulo n son coprimas con n; la función λ(n) de Carmichael es el exponente de ese grupo —el mínimo común múltiplo de los órdenes de todas las unidades. Por definición, λ(n) siempre divide a φ(n), y para primos y para el doble de primos impares las dos funciones coinciden, pero para potencias de dos y para productos de varias potencias primas, λ suele ser estrictamente menor.

La fórmula cerrada es elemental una vez conocida la factorización prima de n: λ(1) es igual a 1; λ(2) es igual a 1 y λ(4) es igual a 2; para potencias más altas de dos, λ(2^k) es igual a 2^(k-2); para una potencia prima impar, λ(p^k) es igual a φ(p^k) igual a p^(k-1)(p-1); y para un n general, el valor global es el mcm de los valores locales en cada factor de potencia prima.

Conocer λ(n) le permite acotar el orden de cualquier a coprimo con n sin probar cada exponente candidato, razón por la cual los cursos de teoría de números y las demostraciones criptográficas la tratan como compañera de primer nivel del totiente.

Cómo llamar a la calculadora y leer λ(n)

Envíe un único campo n —un entero seguro de JavaScript o una cadena decimal simple sin comas, espacios ni notación científica. Internamente, el motor promueve n a BigInt, lo factoriza con una rueda de división de prueba 6k±1 hasta la raíz cuadrada del cofactor restante, evalúa la fórmula local de Carmichael en cada potencia prima, y combina esos valores locales con un mcm exacto.

La respuesta lleva n y lambda como cadenas decimales, un arreglo factors de pares { base, exponent } en orden ascendente (vacío cuando n es 1), y omega como el recuento de bases primas distintas. Manténgase dentro del límite publicado de dieciocho dígitos decimales; más allá de ese límite, la solicitud falla rápido en lugar de agotar CPU en una búsqueda intratable.

Dónde aparece λ(n) en la práctica

Alimente λ(n) en pruebas de que un generador tiene orden máximo, verifique que un exponente universal propuesto realmente anula a toda unidad, o documente el exponente de grupo de tamaños de tabla hash y módulos de desafío. Los autores de canalizaciones pueden encadenar esta calculadora tras un paso de factorización o llamarla sola cuando solo se necesita el exponente. Los factores estructurados en la respuesta también sirven como un desglose gratuito de potencias primas para cualquier cálculo posterior de totiente o radical que ejecute a continuación.