Calcolatore funzione di Carmichael
λ(15) vale 4: qualsiasi numero coprimo con 15 elevato alla quarta dà resto 1 nella divisione per 15, mentre il toziente di Eulero di 15 vale 8. Inserisca un intero positivo fino a 18 cifre e ottenga λ(n) e la sua scomposizione in fattori primi. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 15
- Lambda
- 4
- Omega
- 2
La funzione di Carmichael λ(n) risponde a una domanda più precisa della funzione toziente di Eulero: qual è il più piccolo esponente positivo m tale che ogni intero a coprimo con n soddisfi a^m ≡ 1 (mod n)? Quell'unico intero è l'esponente del gruppo moltiplicativo delle unità modulo n, e compare nei piani chiave RSA, nelle dimostrazioni legate alla primalità e negli esercizi in classe sugli ordini modulari. Questo calcolatore prende un intero positivo, lo fattorizza in modo deterministico con aritmetica BigInt, applica la formula per potenze prime per λ, e restituisce il minimo comune multiplo come stringa decimale esatta.
Cosa misura la funzione di Carmichael
Il toziente di Eulero φ(n) conta quante classi di resto modulo n sono coprime con n; la λ(n) di Carmichael è l'esponente di quel gruppo — il minimo comune multiplo degli ordini di tutte le unità. Per definizione λ(n) divide sempre φ(n), e per i numeri primi e per il doppio di primi dispari le due funzioni coincidono, ma per le potenze di due e per i prodotti di più potenze prime λ è spesso strettamente minore.
La forma chiusa è elementare una volta nota la fattorizzazione in primi di n: λ(1) è uguale a 1; λ(2) è uguale a 1 e λ(4) è uguale a 2; per potenze superiori di due λ(2^k) è uguale a 2^{k-2}; per una potenza prima dispari λ(p^k) è uguale a φ(p^k) è uguale a p^{k-1}(p-1); e per un n generale il valore globale è l'MCM dei valori locali su ciascun fattore di potenza prima.
Conoscere λ(n) ti permette di delimitare l'ordine di qualunque a coprimo con n senza testare ogni esponente candidato, ed è per questo che i corsi di teoria dei numeri e le dimostrazioni crittografiche la trattano come compagna di primo piano del toziente.
Come chiamare il calcolatore e leggere λ(n)
Invia un unico campo n — un intero JavaScript sicuro o una semplice stringa decimale senza virgole, spazi o notazione scientifica. Internamente il motore promuove n a BigInt, lo fattorizza con una ruota di divisione per tentativi 6k±1 fino alla radice quadrata del cofattore rimanente, valuta la formula locale di Carmichael su ciascuna potenza prima, e combina quei valori locali con un MCM esatto.
La risposta porta n e lambda come stringhe decimali, un array factors di coppie { base, exponent } in ordine crescente (vuoto quando n è 1), e omega come conteggio delle basi prime distinte. Resta entro il limite pubblicato di diciotto cifre decimali; oltre quel limite la richiesta fallisce rapidamente invece di consumare CPU su una ricerca intrattabile.
Dove compare λ(n) nella pratica
Inserisci λ(n) in dimostrazioni che un generatore ha ordine massimale, verifica che un esponente universale proposto annulli davvero ogni unità, o documenta l'esponente di gruppo delle dimensioni delle tabelle hash e dei moduli di sfida. Gli autori di pipeline possono incatenare questo calcolatore dopo un passaggio di fattorizzazione o richiamarlo da solo quando serve solo l'esponente. I factors strutturati nella risposta fungono anche da scomposizione gratuita in potenze prime per qualunque calcolo successivo di toziente o radicale che esegui poi.
Casi d'uso
Verifiche di ordine modulare per compiti e gare
Verifica le risposte di studenti o di gara per l'esponente di (Z/nZ)* confrontando la λ(n) restituita con valori di MCM locale calcolati a mano.
Dimostrazioni RSA e di crittografia in classe
Mostra che λ(n) può essere strettamente minore di φ(n) su potenze di due e prodotti multi-primo usati in moduli RSA giocattolo.
Helper di teoria dei numeri per pipeline
Emetti λ(n) esatto più le potenze prime per limiti di ordine, verifiche incrociate del toziente o tabelle batch di esponenti in pipeline matematiche automatizzate.
Domande frequenti
Il calcolatore della funzione di Carmichael è gratuito?
Lo strumento nel browser gira gratis sul tuo dispositivo.
In cosa differisce λ(n) dal toziente di Eulero φ(n)?
φ(n) conta le unità modulo n; λ(n) è l'esponente di quel gruppo. λ(n) divide sempre φ(n) ed è spesso minore per potenze di due e n multi-primo.
A cosa serve λ(n) in pratica?
È un esponente universale: ogni numero coprimo con n elevato a λ(n) dà resto 1. Così limita l'ordine di ciascuno di questi numeri senza provare uno per uno tutti gli esponenti possibili.
Come si calcola λ(n)?
Si scompone n in potenze di primi, si prende il valore di ciascuna e si combinano con il minimo comune multiplo. Per 15, le parti 3 e 5 danno 2 e 4, quindi λ(15) è 4.
Quanto può essere grande il numero da inserire?
Qualsiasi intero positivo fino a 18 cifre, scritto senza virgole, spazi o notazione scientifica. Oltre questa dimensione il calcolo si ferma subito invece di tentare una ricerca impraticabile.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/carmichael-function \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":"15"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/carmichael-function", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": "15"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/carmichael-function",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": "15"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/carmichael-function", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":"15"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":"15"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/carmichael-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": "15"
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.carmichael_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_digits | 18 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
I risultati non dipendono mai da arrotondamento in virgola mobile, chiamate di rete o tempo di orologio, così il percorso gratuito del browser e il percorso API prepagato producono JSON identici per lo stesso n.
Cosa misura la funzione di Carmichael
Questo endpoint restituisce quell'intero insieme alla fattorizzazione usata, così puoi verificare ogni passaggio della derivazione invece di fidarti di una scatola nera opaca.
Come chiamare il calcolatore e leggere λ(n)
I valori devono essere interi almeno pari a 1; zero, negativi e frazioni vengono respinti con invalid_input e non vengono mai addebitati. I nomi di campo alternativi number e value sono accettati per comodità.
Dove compare λ(n) nella pratica
La validazione fallita non consuma mai saldo; solo i calcoli riusciti fatturano $0.002 pubblicato. Usa lo strumento nel browser per l'esplorazione interattiva di n piccoli e medi, e l'API quando un backend, un notebook o un job batch deve calcolare λ per molti interi sotto un unico saldo KIT prepagato senza abbonamento.
Domande tecniche
Come calcolo la funzione di Carmichael λ(n) con questa API?
Invia con POST un oggetto con il campo n impostato su un intero ≥ 1 (o una stringa decimale). La risposta restituisce lambda come stringa decimale, più factors e omega.
Perché n deve essere almeno 1?
λ(n) è definita per interi positivi. Zero e negativi vengono respinti con invalid_input invece di inventare una convenzione; λ(1) è definita come 1.
Il risultato è deterministico tra browser e API?
Sì. La stessa routine pura di fattorizzazione e MCM alimenta entrambi i percorsi, così input identici producono JSON identici senza rete o casualità coinvolte.