Calculadora da função de Carmichael

A função de Carmichael λ(n) responde a uma pergunta mais afiada que a função totiente de Euler: qual é o menor expoente positivo m tal que todo inteiro a coprimo com n satisfaz a^m ≡ 1 (mod n)? Esse único inteiro é o expoente do grupo multiplicativo de unidades módulo n, e aparece em cronogramas de chaves RSA, provas relacionadas à primalidade, e exercícios de sala de aula sobre ordens modulares. Esta calculadora recebe um inteiro positivo, o fatora deterministicamente com aritmética BigInt, aplica a fórmula de potência prima para λ, e retorna o mínimo múltiplo comum como uma string decimal exata.

O que a função de Carmichael mede

A função totiente de Euler φ(n) conta quantas classes residuais módulo n são coprimas com n; a função λ(n) de Carmichael é o expoente desse grupo — o mínimo múltiplo comum das ordens de todas as unidades. Por definição, λ(n) sempre divide φ(n), e para primos e para o dobro de primos ímpares as duas funções coincidem, mas para potências de dois e para produtos de várias potências primas, λ costuma ser estritamente menor.

A fórmula fechada é elementar uma vez conhecida a fatoração prima de n: λ(1) é igual a 1; λ(2) é igual a 1 e λ(4) é igual a 2; para potências mais altas de dois, λ(2^k) é igual a 2^{k-2}; para uma potência prima ímpar, λ(p^k) é igual a φ(p^k) igual a p^{k-1}(p-1); e para um n geral, o valor global é o mmc dos valores locais em cada fator de potência prima.

Conhecer λ(n) permite limitar a ordem de qualquer a coprimo com n sem testar cada expoente candidato, e é por isso que cursos de teoria dos números e demonstrações criptográficas tratam essa função como companheira de primeira classe do totiente.

Como chamar a calculadora e ler λ(n)

Envie um único campo n — um inteiro seguro do JavaScript ou uma string decimal simples sem vírgulas, espaços ou notação científica. Internamente, o mecanismo promove n para BigInt, o fatora com uma roda de divisão por tentativa 6k±1 até a raiz quadrada do cofator restante, avalia a fórmula local de Carmichael em cada potência prima, e combina esses valores locais com um mmc exato.

A resposta traz n e lambda como strings decimais, um array factors de pares { base, exponent } em ordem crescente (vazio quando n é 1), e omega como a contagem de bases primas distintas. Fique dentro do limite publicado de dezoito dígitos decimais; além desse limite, a solicitação falha rapidamente em vez de consumir CPU em uma busca inviável.

Onde λ(n) aparece na prática

Alimente λ(n) em provas de que um gerador tem ordem máxima, verifique se um expoente universal proposto realmente anula toda unidade, ou documente o expoente de grupo de tamanhos de tabela hash e módulos de desafio. Autores de pipeline podem encadear esta calculadora depois de um passo de fatoração ou chamá-la sozinha quando apenas o expoente é necessário. Os fatores estruturados na resposta também servem como uma decomposição gratuita de potência prima para qualquer cálculo subsequente de totiente ou radical que você execute em seguida.