Carmichael-Funktion-Rechner
λ(15) ist 4: Jede zu 15 teilerfremde Zahl hoch 4 lässt bei Division durch 15 den Rest 1, während die eulersche Phi-Funktion von 15 den Wert 8 ergibt. Geben Sie eine positive ganze Zahl mit bis zu 18 Stellen ein und erhalten Sie λ(n) samt Primfaktorzerlegung. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 15
- Lambda
- 4
- Omega
- 2
Die Carmichael-Funktion λ(n) beantwortet eine schärfere Frage als Eulers Totient: Was ist der kleinste positive Exponent m, sodass jede zu n teilerfremde Ganzzahl a die Bedingung a^m ≡ 1 (mod n) erfüllt? Diese einzelne Ganzzahl ist der Exponent der multiplikativen Gruppe der Einheiten modulo n und erscheint in RSA-Schlüsselplänen, primzahlbezogenen Beweisen und Unterrichtsübungen zu modularen Ordnungen. Dieser Rechner nimmt eine positive Ganzzahl, faktorisiert sie deterministisch mit BigInt-Arithmetik, wendet die Primpotenz-Formel für λ an und liefert das kleinste gemeinsame Vielfache als exakte Dezimal-Zeichenkette.
Was die Carmichael-Funktion misst
Eulers Totient φ(n) zählt, wie viele Restklassen modulo n zu n teilerfremd sind; Carmichaels λ(n) ist der Exponent dieser Gruppe — das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen aller Einheiten. Per Definition teilt λ(n) immer φ(n), und für Primzahlen und das Doppelte ungerader Primzahlen stimmen die beiden Funktionen überein, aber für Zweierpotenzen und für Produkte mehrerer Primpotenzen ist λ oft strikt kleiner.
Die geschlossene Form ist elementar, sobald die Primfaktorzerlegung von n bekannt ist: λ(1) ist 1; λ(2) ist 1 und λ(4) ist 2; für höhere Zweierpotenzen ist λ(2^k) gleich 2^(k-2); für eine ungerade Primpotenz ist λ(p^k) gleich φ(p^k) gleich p^(k-1)(p-1); und für ein allgemeines n ist der globale Wert das kgV der lokalen Werte auf jedem Primpotenz-Faktor. Die Kenntnis von λ(n) erlaubt es Ihnen, die Ordnung jedes zu n teilerfremden a zu begrenzen, ohne jeden Kandidatenexponenten zu testen, weshalb Zahlentheorie-Kurse und kryptografische Demos sie als gleichberechtigten Begleiter des Totienten behandeln.
Dieser Endpunkt liefert diese Ganzzahl zusammen mit der verwendeten Faktorisierung, sodass Sie jeden Schritt der Herleitung prüfen können, statt einer undurchsichtigen Blackbox zu vertrauen.
Wie Sie den Rechner aufrufen und λ(n) lesen
Übermitteln Sie ein einzelnes Feld n — eine sichere JavaScript-Ganzzahl oder eine einfache Dezimal-Zeichenkette ohne Kommas, Leerzeichen oder wissenschaftliche Notation. Intern hebt die Engine n auf BigInt an, faktorisiert es mit einem 6k±1-Probedivisionsrad bis zur Quadratwurzel des verbleibenden Kofaktors, wertet die lokale Carmichael-Formel auf jeder Primpotenz aus und fasst diese lokalen Werte mit einem exakten kgV zusammen. Die Antwort führt n und lambda als Dezimal-Zeichenketten, ein factors-Array aufsteigender { base, exponent }-Paare (leer, wenn n gleich 1 ist), und omega als Anzahl der verschiedenen Primbasen.
Bleiben Sie innerhalb der veröffentlichten Ziffernobergrenze von achtzehn Dezimalstellen; jenseits dieser Grenze schlägt die Anfrage schnell fehl, statt CPU-Zeit auf eine unlösbare Suche zu verschwenden.
Wo λ(n) in der Praxis auftaucht
Speisen Sie λ(n) in Beweise ein, dass ein Generator maximale Ordnung hat, prüfen Sie, dass ein vorgeschlagener universeller Exponent wirklich jede Einheit annulliert, oder dokumentieren Sie den Gruppenexponenten von Hash-Tabellengrößen und Challenge-Moduln. Pipeline-Autoren können diesen Rechner nach einem Faktorisierungsschritt verketten oder ihn allein aufrufen, wenn nur der Exponent benötigt wird. Die strukturierten Faktoren in der Antwort dienen außerdem als kostenlose Primpotenz-Aufschlüsselung für jede nachfolgende Totient- oder Radikal-Berechnung, die Sie als Nächstes ausführen.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Wettbewerbsprüfungen zur modularen Ordnung
Überprüfen Sie studentische oder Wettbewerbsantworten zum Exponenten von (Z/nZ)*, indem Sie das zurückgegebene λ(n) mit von Hand berechneten kgV-der-lokalen-Werte vergleichen.
RSA- und Kryptografie-Unterrichtsdemos
Zeigen Sie, dass λ(n) bei Zweierpotenzen und Mehrprimzahl-Produkten, die in Spielzeug-RSA-Moduln verwendet werden, strikt kleiner als φ(n) sein kann.
Zahlentheorie-Hilfsmittel für Pipelines
Liefern Sie exaktes λ(n) plus Primpotenzen für Ordnungsgrenzen, Totient-Gegenproben oder Batch-Exponententabellen in automatisierten Mathematik-Pipelines.
Häufige Fragen
Wie unterscheidet sich λ(n) von Eulers Totient φ(n)?
φ(n) zählt Einheiten modulo n; λ(n) ist der Exponent dieser Gruppe. λ(n) teilt immer φ(n) und ist bei Zweierpotenzen und Mehrprimzahl-n oft kleiner.
Wofür braucht man λ(n) in der Praxis?
λ(n) ist ein universeller Exponent: Jede zu n teilerfremde Zahl hoch λ(n) lässt den Rest 1. Damit begrenzen Sie die Ordnung jeder solchen Zahl, ohne alle möglichen Exponenten einzeln zu testen.
Wie wird λ(n) berechnet?
Man zerlegt n in Primzahlpotenzen, bestimmt für jede den lokalen Wert und verbindet die Werte über das kleinste gemeinsame Vielfache. Bei 15 liefern die Teile 3 und 5 die Werte 2 und 4, also ist λ(15) gleich 4.
Wie groß darf die Zahl sein?
Erlaubt ist jede positive ganze Zahl mit bis zu 18 Dezimalstellen, ohne Kommas, Leerzeichen oder wissenschaftliche Schreibweise. Darüber bricht die Rechnung sofort ab, statt eine aussichtslose Suche zu beginnen.
Warum zeigt das Ergebnis auch die Primfaktoren?
Damit Sie jeden Schritt nachprüfen können, statt einer undurchsichtigen Zahl zu vertrauen. Die Zerlegung in Primzahlpotenzen lässt sich außerdem gleich für weitere Rechnungen wie die Phi-Funktion verwenden.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/carmichael-function \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":"15"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/carmichael-function", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": "15"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/carmichael-function",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": "15"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/carmichael-function", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":"15"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":"15"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/carmichael-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": "15"
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.carmichael_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_digits | 18 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Ergebnisse hängen niemals von Gleitkomma-Rundung, Netzwerkaufrufen oder der Systemzeit ab, sodass der kostenlose Browserpfad und der kostenpflichtige API-Pfad für dasselbe n identisches JSON erzeugen.
Wie Sie den Rechner aufrufen und λ(n) lesen
Werte müssen Ganzzahlen von mindestens 1 sein; null, negative Zahlen und Brüche werden mit invalid_input zurückgewiesen und niemals berechnet. Die Alias-Feldnamen number und value werden zur Bequemlichkeit akzeptiert.
Wo λ(n) in der Praxis auftaucht
Fehlgeschlagene Validierung verbraucht niemals Guthaben; nur erfolgreiche Berechnungen werden mit dem veröffentlichten $0.002 abgerechnet. Nutzen Sie das Browser-Werkzeug für die interaktive Erkundung kleiner und mittlerer n, und die API, wenn ein Backend, ein Notebook oder ein Batch-Job λ für viele Ganzzahlen unter einem einzigen vorausbezahlten KIT-Guthaben ohne Abonnement berechnen muss.
Technische Fragen
Wie berechne ich die Carmichael-Funktion λ(n) mit dieser API?
Senden Sie ein Objekt per POST mit dem Feld n gesetzt auf eine Ganzzahl ≥ 1 (oder eine Dezimal-Zeichenkette). Die Antwort liefert lambda als Dezimal-Zeichenkette, plus factors und omega.
Ist der Carmichael-Funktion-Rechner kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben mit $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.
Warum muss n mindestens 1 sein?
λ(n) ist für positive Ganzzahlen definiert. Null und negative Zahlen werden mit invalid_input zurückgewiesen, statt eine Konvention zu erfinden; λ(1) ist als 1 definiert.
Ist das Ergebnis über Browser und API hinweg deterministisch?
Ja. Dieselbe reine Faktorisierungs- und kgV-Routine treibt beide Pfade an, sodass identische Eingaben identisches JSON erzeugen, ohne Netzwerk oder Zufälligkeit.