Eulersche φ(n)-Funktion: teilerfremde aus Primfaktoren
Eulers Phi-Funktion von 36 ist 12: So viele Zahlen von 1 bis 36 teilen keinen Primfaktor mit 36. Geben Sie eine positive ganze Zahl bis eine Billion ein und erhalten Sie die exakte Anzahl samt Primfaktoren. Kostenlos in Ihrem Browser.
- Kostenlos
- Läuft in Ihrem Browser
- Ohne Anmeldung
- Ihre Daten bleiben auf Ihrem Gerät
Im Browser ausführen – kostenlos
Rechenbeispiel
- N
- 36
- Phi-Wert
- 12
- Anzahl teilerfremder
- 12
Die eulersche Totientenfunktion φ(n) beantwortet eine Zählfrage der Zahlentheorie: Unter den ganzen Zahlen von 1 bis n, wie viele teilen keinen Primfaktor mit n? Diese Anzahl erscheint in modularer Arithmetik, bei der RSA-Schlüsseleinrichtung, bei Ordnungen zyklischer Gruppen und beim Zählen gekürzter Brüche. Dieser Rechner nimmt eine positive ganze Zahl n, baut ihre Primfaktorzerlegung durch deterministische Probedivision auf und wertet die klassische Produktformel aus, sodass Sie ein exaktes φ(n) ohne Gleitkomma-Schätzungen oder externe Dienste erhalten.
Was die eulersche Totientenfunktion misst und warum sie zählt
Zwei ganze Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler eins ist. Die eulersche Totientenfunktion φ(n) ist die Größe der Menge der Reste von eins bis n, die diese Bedingung erfüllen. Für eine Primzahl p lautet die Antwort p minus eins, weil jede kleinere positive ganze Zahl teilerfremd zu p ist.
Für eine Primzahlpotenz p hoch k ist die Antwort p^k minus p^(k−1), indem Vielfache von p gestrichen werden. Für allgemeines n multipliziert der chinesische Restsatz die lokalen Anzahlen, weshalb die geschlossene Produktformel funktioniert. Ingenieure begegnen φ(n), wenn sie die Ordnung der multiplikativen Einheitengruppe modulo n brauchen, RSA-öffentliche Exponenten teilerfremd zu φ des Modulus wählen, gekürzte Brüche mit Nenner n zählen oder die Zykluslänge eines linearen Kongruenzgenerators dimensionieren.
Ein einzelner deterministischer Endpunkt, der sowohl die Totientenfunktion als auch die erzeugenden Faktoren liefert, entfernt eine häufige Quelle von Off-by-one-Fehlern in Hausaufgabenprüfern, Krypto-Tutorials und Ganzzahl-Pipelines, die sonst die Faktorisierung ad hoc neu implementieren würden.
Wie dieser Rechner φ(n) aus Primfaktoren auswertet
Rufen Sie die Fähigkeit mit einem positiven ganzzahligen Feld n auf. Die Implementierung faktorisiert n durch Probedivision: sie peelt Faktoren von zwei ab, dann ungerade Kandidaten bis zur Quadratwurzel und schließlich jeden verbleibenden Primkofaktor. Aus dieser geordneten Liste wendet sie die exakte ganzzahlige Form des eulerschen Produkts an: beginne mit phi gleich n und ersetze für jede verschiedene Primzahl p, die n teilt, phi durch floor(phi/p) mal (p minus eins).
Weil jede Primzahl einmal verarbeitet wird, brauchen höhere Potenzen keine separate geometrische Summe; die Formel enthält bereits die richtige Dichte.
Praktische Nutzung, Grenzen, Preise und Bereitstellung
Nutzen Sie das Browser-Werkzeug, wenn Sie eine sofortige Antwort beim Lernen, beim Debuggen eines modularen Exponentiationsschritts oder beim Prüfen einer Lehrbuchaufgabe wollen. Der akzeptierte Bereich geht von eins bis eine Billion (10^12), was Zwischenprodukte in sicheren JavaScript-Ganzzahlen hält und typische Wettbewerbs-, Klassen- und Anwendungsgrößen abdeckt. Ergebnisse sind deterministisch: dasselbe n liefert immer dasselbe phi und dieselbe Faktorenliste.
Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Faktorisierungsdienst und keine Zufälligkeit, sodass die Fähigkeit sicher in automatisierte Tests gepinnt werden kann. Verdrahten Sie den Endpunkt in zahlentheoretische Demos, Krypto-Lehr-Sandkästen oder Vorverarbeitungsschritte für Ganzzahlen, wo Sie exakter Arithmetik mehr vertrauen als ungefähren Heuristiken.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Wettbewerbsprüfung
Studierende und Bewerter können φ(n) für beliebige positive Ganzzahlen bestätigen und die von der Formel genutzten Primfaktoren prüfen, ohne ein lokales CAS.
Krypto- und Modulararithmetik-Tutorials
Materialien zu RSA oder multiplikativen Ordnungen können φ von Beispielmoduln auf Abruf berechnen und die Faktorisierung neben der Totientenfunktion zeigen.
Automatisierte zahlentheoretische Pipelines
Skripte, die gekürzte Brüche, Zykluslängen oder Einheitengruppengrößen aufzählen, können einen einzelnen deterministischen, pro Element bepreisten Endpunkt aufrufen statt Faktorisierungscode einzubetten.
Häufige Fragen
Was geschieht, wenn n kleiner als 1 ist?
Die eulersche Totientenfunktion ist nur für positive Ganzzahlen definiert; Null und Negative werden abgelehnt und nicht berechnet.
Wie wird φ(n) berechnet?
n wird durch Probedivision faktorisiert, dann wird die Produktformel φ(n) = n · Π (1 − 1/p) über die verschiedenen Primfaktoren p mit exakten ganzzahligen Schritten ausgewertet.
Was ist die größte n, die ich einreichen kann?
Ganzzahlen von 1 bis 1,000,000,000,000 (1e12) werden akzeptiert. Größere Werte werden abgelehnt, damit die Arithmetik im sicheren Ganzzahlbereich bleibt.
Wie groß ist die Phi-Funktion von 36?
Sie ist 12. Da 36 = 2² × 3² ist, multiplizieren Sie 36 mit (1 − 1/2) und mit (1 − 1/3): Es ergibt sich 12, also sind zwölf Zahlen von 1 bis 36 zu 36 teilerfremd.
Wie groß ist die Phi-Funktion einer Primzahl?
Sie ist die Primzahl minus eins. Jede kleinere positive Zahl ist zu einer Primzahl teilerfremd, also fällt nur die Primzahl selbst aus der Zählung heraus.
Was passiert bei Zahlen unter 1?
Sie werden abgelehnt. Die Phi-Funktion wird hier für ganze Zahlen ab 1 berechnet; null, negative Werte und Dezimalzahlen ergeben eine klare Meldung statt eines Ergebnisses.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":36}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 36
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 36
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":36}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":36}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 36
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.euler_totient",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_n | 1000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie dieser Rechner φ(n) aus Primfaktoren auswertet
Die Antwort enthält n, phi, die Faktorenliste als Prim-Exponent-Paare und coprime_count als expliziten Alias von phi für Aufrufer, die einen selbsterklärenden Feldnamen wünschen. Eingaben unter eins, Nicht-Ganzzahlen, fehlendes n und Werte über der veröffentlichten Obergrenze werden als invalid_input abgelehnt und nie berechnet.
Praktische Nutzung, Grenzen, Preise und Bereitstellung
Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, CI-Job oder eine Bildungsplattform φ(n) für viele Werte braucht, ohne eine Faktorisierungsbibliothek mitzuliefern. Jede erfolgreiche Anfrage ist ein abrechenbares Element zu $0.002; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Technische Fragen
Wie berechne ich die eulersche Totientenfunktion φ(n) mit dieser API?
Senden Sie einen JSON-Körper mit dem positiven ganzzahligen Feld n an die Fähigkeit numth.euler_totient. Die Antwort liefert phi, die geordnete Primfaktorzerlegung und coprime_count gleich phi.
Ist der Rechner der eulerschen Totientenfunktion kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Element; Validierungsfehler werden nicht berechnet.