Totient d'Euler φ(n) : copremiers issus des facteurs premiers
L'indicatrice d'Euler de 36 vaut 12 : c'est le nombre d'entiers de 1 à 36 sans facteur premier commun avec 36. Saisissez tout entier positif jusqu'à mille milliards et obtenez le décompte exact et ses facteurs premiers. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- N
- 36
- Valeur φ
- 12
- Nombre de copremiers
- 12
La fonction totient d'Euler φ(n) répond à une question de dénombrement en théorie des nombres : parmi les entiers de 1 à n, combien ne partagent aucun facteur premier avec n ? Ce décompte apparaît en arithmétique modulaire, dans la préparation des clés RSA, dans l'ordre des groupes cycliques et pour compter les fractions sous forme réduite. Ce calculateur prend un entier positif n, construit sa factorisation première par division d'essai déterministe et évalue la formule classique du produit, afin que vous obteniez un φ(n) exact sans approximation en virgule flottante ni services externes.
Ce que mesure le totient d'Euler et pourquoi c'est important
Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur plus grand commun diviseur vaut un. Le totient d'Euler φ(n) est la taille de l'ensemble des résidus de un à n qui satisfont cette condition. Pour un premier p la réponse est p moins un, car tout entier positif plus petit est premier avec p.
Pour une puissance p à la k la réponse est p^k moins p^(k−1), en écartant les multiples de p. Pour un n général, le théorème des restes chinois multiplie les décomptes locaux, d'où l'efficacité de la formule produit fermée. Les ingénieurs rencontrent φ(n) lorsqu'ils ont besoin de l'ordre du groupe multiplicatif des unités modulo n, lorsqu'ils choisissent des exposants publics RSA premiers avec φ du module, lorsqu'ils comptent les fractions réduites de dénominateur n, ou lorsqu'ils dimensionnent la longueur de cycle d'un générateur congruentiel linéaire.
Un unique point d'accès déterministe qui renvoie le totient et les facteurs qui l'ont produit élimine une source courante d'erreurs d'un cran dans les correcteurs de devoirs, les tutoriels de crypto et les pipelines d'entiers qui sinon réimplémenteraient la factorisation de façon ad hoc.
Comment ce calculateur évalue φ(n) à partir des facteurs premiers
Appelez la capacité avec un champ entier positif n. L'implémentation factorise n par division d'essai : elle retire les facteurs de deux, puis les candidats impairs jusqu'à la racine carrée, et enfin tout cofacteur premier restant. À partir de cette liste ordonnée elle applique la forme entière exacte du produit d'Euler : part de phi égal à n et, pour chaque premier distinct p divisant n, remplace phi par floor(phi/p) fois (p moins un).
Comme chaque premier est traité une seule fois, les puissances élevées n'exigent pas une somme géométrique séparée ; la formule intègre déjà la bonne densité.
Usage pratique, limites, tarification et livraison
Utilisez l'outil navigateur lorsque vous voulez une réponse immédiate en étudiant, en déboguant une exponentiation modulaire ou en vérifiant un exercice de manuel. La plage acceptée va de un à un billion (10^12), ce qui maintient les produits intermédiaires dans les entiers sûrs JavaScript tout en couvrant les tailles typiques de concours, de classe et d'applications. Les résultats sont déterministes : le même n produit toujours le même phi et la même liste de facteurs.
Il n'y a ni modèle de langage, ni service de factorisation externe, ni aléa, donc la capacité est sûre à figer dans des tests automatisés. Branchez le point d'accès sur des démos de théorie des nombres, des bacs à sable d'enseignement crypto ou des étapes de prétraitement d'entiers où vous faites déjà confiance à l'arithmétique exacte plutôt qu'à des heuristiques approximatives.
Cas d’usage
Vérification de devoirs et de concours
Étudiants et correcteurs peuvent confirmer φ(n) pour des entiers positifs arbitraires et inspecter les facteurs premiers utilisés par la formule, sans dépendre d'un CAS local.
Tutoriels de crypto et d'arithmétique modulaire
Les supports qui présentent RSA ou les ordres multiplicatifs peuvent calculer φ de modules d'exemple à la demande et afficher la factorisation à côté du totient.
Pipelines automatisés de théorie des nombres
Les scripts qui énumèrent fractions réduites, longueurs de cycle ou tailles de groupes d'unités peuvent appeler un unique point d'accès déterministe tarifé par élément au lieu d'embarquer du code de factorisation.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si n est inférieur à 1 ?
Le totient d'Euler n'est défini que pour les entiers positifs ; zéro et les négatifs sont rejetés et non facturés.
Comment φ(n) est-il calculé ?
n est factorisé par division d'essai, puis la formule produit φ(n) = n · Π (1 − 1/p) sur les facteurs premiers distincts p est évaluée avec des étapes entières exactes.
Quel est le plus grand n que je peux soumettre ?
Les entiers de 1 à 1,000,000,000,000 (1e12) sont acceptés. Les valeurs plus grandes sont rejetées pour que l'arithmétique reste dans la plage des entiers sûrs.
Quelle est l'indicatrice d'Euler de 36 ?
Elle vaut 12. Comme 36 = 2² × 3², multipliez 36 par (1 − 1/2) puis par (1 − 1/3) : on obtient 12, donc douze nombres de 1 à 36 sont premiers avec 36.
Quelle est l'indicatrice d'Euler d'un nombre premier ?
C'est ce nombre premier moins un. Tout entier positif plus petit qu'un nombre premier est premier avec lui, donc seul le nombre premier lui-même est exclu du décompte.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
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"method" => "POST",
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/euler-totient", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
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}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.euler_totient",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_n | 1000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Comment ce calculateur évalue φ(n) à partir des facteurs premiers
La réponse inclut n, phi, la liste des facteurs en paires premier-exposant, et coprime_count comme alias explicite de phi pour les appelants qui préfèrent un nom auto-descriptif. Les entrées inférieures à un, non entières, n manquant et les valeurs au-dessus de la borne publiée sont rejetées comme invalid_input et ne sont jamais facturées.
Usage pratique, limites, tarification et livraison
Utilisez l'API lorsqu'un script, un job CI ou une plateforme éducative a besoin de φ(n) pour de nombreuses valeurs sans embarquer une bibliothèque de factorisation. Chaque requête réussie est un élément facturable à $0.002 ; l'échec de validation ne consomme pas le solde.
Questions techniques
Comment calculer le totient d'Euler φ(n) avec cette API ?
Envoyez un corps JSON avec le champ entier positif n à la capacité numth.euler_totient. La réponse renvoie phi, la factorisation première ordonnée et coprime_count égal à phi.
Le calculateur du totient d'Euler est-il gratuit ?
L'outil navigateur s'exécute gratuitement sur votre appareil. Les appels API utilisent le solde KIT prépayé à $0.002 par élément réussi ; les échecs de validation ne sont pas facturés.