Somme des totatifs

Les totatifs d'un entier positif n sont les résidus de l'intervalle un à n qui ne partagent aucun facteur premier avec n. Leur nombre est l'indicatrice d'Euler φ(n) ; leur somme est un invariant arithmétique voisin qui apparaît dans les énumérations de fractions, les identités cyclotomiques et les exercices de groupes modulaires. Ce calculateur prend un seul entier positif n, le factorise de façon déterministe, évalue φ(n) par la formule produit sur les premiers, et renvoie la somme exacte des totatifs — la forme fermée classique n fois φ(n) sur deux lorsque n est supérieur à un, et la valeur spéciale un lorsque n vaut un. Aucun appel réseau, aucune approximation flottante et aucun modèle de langage ne s'interposent entre votre entrée et la réponse entière.

Ce que mesure la somme des totatifs

Deux entiers positifs sont premiers entre eux lorsque leur plus grand commun diviseur vaut un. L'ensemble des totatifs de n est exactement l'ensemble des entiers k tels que un est inférieur ou égal à k, k est inférieur ou égal à n, et gcd(k, n) vaut un. L'indicatrice d'Euler φ(n) compte cet ensemble ; la somme des totatifs additionne ses membres.

Pour un premier p les totatifs vont de un à p moins un, donc la somme est (p moins un) fois p sur deux, ce qui coïncide avec p fois φ(p) sur deux. Pour un n composé la même idée de couplage s'applique dès que n est supérieur à un : si k est premier avec n, alors n moins k l'est aussi ; les deux sont distincts et leur moyenne est n sur deux, donc la somme totale vaut n fois φ(n) sur deux.

Cette identité permet à ce point d'accès de renvoyer un entier exact sans énumérer les résidus jusqu'à n. Les étudiants rencontrent la somme en vérifiant des tables de totatifs, en confirmant que les fractions réduites de dénominateur n ont des numérateurs de moyenne n sur deux, et en comparant φ(n) à une liste manuelle de copremiers. Les ingénieurs l'utilisent dans des pipelines de théorie des nombres qui ont besoin du décompte et de la somme comme invariants peu coûteux d'un module.

Une capacité déterministe qui renvoie n, la somme, φ(n) et les facteurs ayant produit φ(n) supprime une source fréquente d'erreurs d'unité près dans les correcteurs de devoirs et les bancs de tests entiers.

Comment ce calculateur évalue la somme

Appelez la capacité avec un champ entier positif n. L'implémentation valide d'abord que n est un entier dans la plage publiée de un à un billion. Elle factorise ensuite n par division d'essai : extraction des facteurs deux, puis candidats impairs jusqu'à la racine carrée, enfin tout cofacteur premier restant.

À partir de cette liste ordonnée elle applique la forme entière exacte du produit d'Euler : partir de phi égal à n et, pour chaque premier distinct p divisant n, remplacer phi par le plancher de phi divisé par p, multiplié par p moins un. Lorsque n vaut un la somme est définie comme un, car le seul totatif est un et la demi-formule donnerait à tort un demi.

Lorsque n est supérieur à un la somme est n multiplié par phi puis divisé par deux ; pour tout entier n supérieur à un le produit n fois φ(n) est pair, donc le résultat est toujours un entier exact sans reste. La réponse inclut n, sum, phi, la liste de facteurs en paires premier et exposant, et une courte chaîne formula indiquant le cas appliqué.

Usage pratique, limites, tarification et livraison

Utilisez l'outil navigateur lorsque vous voulez immédiatement la somme des totatifs en étudiant, en notant un exercice de théorie des nombres ou en recoupant une énumération manuelle de copremiers. La plage acceptée va des entiers de un à un billion, ce qui maintient chaque produit intermédiaire dans le territoire des entiers sûrs de JavaScript tout en couvrant les tailles typiques de concours, de cours et d'application. Les résultats sont pleinement déterministes : le même n produit toujours la même somme, le même phi et la même liste de facteurs.

Il n'y a ni modèle de langage, ni service externe de factorisation, ni aléa, donc la capacité est sûre à figer dans des tests automatisés. Branchez le point d'accès dans des démonstrations de fractions, des tutoriels d'arithmétique modulaire ou des étapes de prétraitement entier où vous faites davantage confiance à l'arithmétique exacte qu'aux heuristiques approximatives, et conservez la capacité sœur de l'indicatrice d'Euler pour ceux qui n'ont besoin que du décompte des copremiers et non de leur somme.