Suma de totativos
Los números hasta 10 que no comparten factor con 10 son 1, 3, 7 y 9, y suman 20. Escriba un entero positivo y obtendrá esa suma, el valor de phi de Euler y los factores primos que lo explican. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 10
- Sum
- 20
- Phi
- 4
Los totativos de un entero positivo n son los residuos del intervalo de uno a n que no comparten ningún factor primo con n. Su cantidad es la función totiente de Euler φ(n); su suma es un invariante aritmético afín que aparece en enumeraciones de fracciones, identidades ciclotómicas y ejercicios de grupos modulares. Esta calculadora recibe un único entero positivo n, lo factoriza de forma determinista, evalúa φ(n) con la fórmula del producto sobre primos y devuelve la suma exacta de los totativos: la forma cerrada clásica n por φ(n) entre dos cuando n es mayor que uno, y el valor especial uno cuando n es uno. No hay llamada de red, ni aproximaciones en coma flotante, ni modelo de lenguaje entre su entrada y la respuesta entera.
Qué mide la suma de los totativos
Dos enteros positivos son coprimos cuando su máximo común divisor es uno. El conjunto de totativos de n es exactamente el de los enteros k tales que uno es menor o igual que k, k es menor o igual que n, y gcd(k, n) vale uno. La totiente de Euler φ(n) cuenta ese conjunto; la suma de totativos añade sus elementos.
Para un primo p los totativos son uno hasta p menos uno, de modo que la suma es (p menos uno) por p entre dos, lo que coincide con p por φ(p) entre dos. Para un n compuesto vale la misma idea de emparejamiento cuando n es mayor que uno: si k es coprimo con n, también lo es n menos k; ambos son distintos y promedian n entre dos, por tanto la suma total es n por φ(n) entre dos.
Esa identidad permite que este extremo devuelva un entero exacto sin enumerar residuos hasta n. Los estudiantes encuentran la suma al revisar tablas de totativos, al comprobar que las fracciones reducidas de denominador n tienen numeradores que promedian n entre dos, y al contrastar φ(n) con una lista manual de coprimos. Los ingenieros la usan en tuberías de teoría de números que necesitan el conteo y la suma como invariantes baratos de un módulo.
Una capacidad determinista que devuelve n, la suma, φ(n) y los factores que produjeron φ(n) elimina errores de desfase en correctores de ejercicios y arneses de prueba enteros.
Cómo calcula esta herramienta la suma
Invoque la capacidad con un campo entero positivo n. La implementación valida primero que n sea un entero en el rango publicado de uno a un billón (un billón en escala corta: 1e12). Luego factoriza n por división de prueba: extrae factores de dos, después candidatos impares hasta la raíz cuadrada y, por último, cualquier cofactor primo restante.
A partir de esa lista ordenada aplica la forma entera exacta del producto de Euler: arranca con phi igual a n y, por cada primo distinto p que divide a n, sustituye phi por el suelo de phi entre p, multiplicado por p menos uno. Cuando n es uno la suma se define como uno, porque el único totativo es uno y la fórmula a la mitad daría incorrectamente un medio.
Cuando n es mayor que uno la suma es n multiplicado por phi y dividido entre dos; para todo entero n mayor que uno el producto n por φ(n) es par, así que el resultado es siempre un entero exacto sin resto. La respuesta incluye n, sum, phi, la lista de factores como pares primo y exponente, y una cadena formula breve del caso aplicado.
Uso práctico, límites, precio y entrega
Use la herramienta del navegador cuando necesite al instante la suma de totativos al estudiar, calificar un ejercicio de teoría de números o contrastar una enumeración manual de coprimos. El rango aceptado son enteros de uno a un billón (1e12), lo que mantiene cada producto intermedio dentro del territorio de enteros seguros de JavaScript y cubre tamaños típicos de concurso, aula y aplicación. Los resultados son plenamente deterministas: el mismo n produce siempre la misma suma, el mismo phi y la misma lista de factores.
No hay modelo de lenguaje, ni servicio externo de factorización, ni aleatoriedad, de modo que la capacidad es segura de fijar en pruebas automatizadas. Enlácela en demos de fracciones, tutoriales de aritmética modular o pasos de preprocesado entero donde confíe más en la aritmética exacta que en heurísticas aproximadas, y reserve la capacidad hermana de la totiente de Euler para quien solo necesite el conteo de coprimos y no su suma.
Qué puede hacer con ella
Verificación de deberes y concursos
Estudiantes y correctores pueden confirmar la suma de totativos para enteros positivos arbitrarios, inspeccionar φ(n) y los factores primos de la fórmula, y detectar errores de desfase en listas manuales de coprimos.
Tutoriales de fracciones y aritmética modular
Los materiales didácticos que introducen fracciones reducidas con denominador fijo n, o la estructura del grupo multiplicativo módulo n, pueden mostrar juntos φ(n) y la suma de totativos.
Tuberías automatizadas de teoría de números
Los scripts que enumeran fracciones reducidas, contrastan tablas de manual o construyen invariantes enteros de un módulo pueden llamar a un único extremo determinista con precio por ítem en lugar de incrustar factorización y emparejamiento.
Preguntas frecuentes
¿Cómo calculo la suma de los totativos de n?
La respuesta devuelve sum, phi, la factorización prima ordenada y una cadena formula del caso aplicado.
¿Qué ocurre si n es menor que 1?
La suma de totativos se define solo para enteros positivos; el cero y los negativos se rechazan y no se cobran.
¿Qué fórmula se usa cuando n es mayor que 1?
Para n > 1 la suma vale n · φ(n) / 2. El extremo calcula φ(n) desde la factorización prima con aritmética entera exacta, multiplica por n y divide entre dos.
¿Es gratuita la calculadora de la suma de totativos?
La herramienta del navegador se ejecuta gratis en su dispositivo.
¿Cuál es el mayor n que puedo enviar?
Se aceptan enteros de 1 a 1,000,000,000,000 (1e12). Los valores mayores se rechazan para que la aritmética permanezca en el rango de enteros seguros.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-of-totatives \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-of-totatives", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-of-totatives", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/sum-of-totatives", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 10
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.sum_of_totatives",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo calcula esta herramienta la suma
Entradas menores que uno, no enteras, n ausente y valores por encima del tope se rechazan como invalid_input y no se cobran. La misma función pura alimenta la herramienta gratuita en el navegador y la ruta API, de modo que un ejemplo dorado en el servidor es la misma aritmética que un visitante ejecuta en local sin ida y vuelta de red ni servicio externo de factorización.
Uso práctico, límites, precio y entrega
Use la API cuando un script, un trabajo de integración continua o una plataforma educativa necesite la suma para muchos valores sin empaquetar una biblioteca de factorización. Cada petición correcta es un ítem facturable a $0.002; la validación fallida no consume saldo.