Somma dei totativi

I totativi di un intero positivo n sono i residui nell'intervallo da uno a n che non condividono alcun fattore primo con n. Il loro conteggio è la funzione totiente di Eulero φ(n); la loro somma è un invariante aritmetico affine che compare nelle enumerazioni di frazioni, nelle identità ciclotomiche e negli esercizi sui gruppi modulari. Questo calcolatore accetta un solo intero positivo n, lo fattorizza in modo deterministico, valuta φ(n) con la formula prodotto sui primi e restituisce la somma esatta dei totativi: la forma chiusa classica n volte φ(n) su due quando n è maggiore di uno, e il valore speciale uno quando n è uguale a uno. Nessuna chiamata di rete, nessuna approssimazione in virgola mobile e nessun modello linguistico si frappongono tra il Suo input e la risposta intera.

Cosa misura la somma dei totativi

Due interi positivi sono coprimi quando il loro massimo comune divisore è uno. L'insieme dei totativi di n è esattamente l'insieme degli interi k con uno minore o uguale a k, k minore o uguale a n, e gcd(k, n) uguale a uno. La totiente di Eulero φ(n) conta quell'insieme; la somma dei totativi ne addiziona i membri.

Per un primo p i totativi vanno da uno a p meno uno, quindi la somma è (p meno uno) volte p su due, che coincide con p volte φ(p) su due. Per un n composto la stessa idea di accoppiamento vale ogni volta che n è maggiore di uno: se k è coprimo con n lo è anche n meno k; i due sono distinti e la media è n su due, pertanto la somma totale vale n volte φ(n) su due.

Gli studenti incontrano la somma quando controllano tabelle di totativi, quando verificano che le frazioni ridotte con denominatore n abbiano numeratori di media n su due, e quando confrontano φ(n) con un elenco manuale di coprimi. Gli ingegneri la usano in pipeline di teoria dei numeri che necessitano sia del conteggio sia della somma come invarianti economici di un modulo.

Una capacità deterministica che restituisce n, la somma, φ(n) e i fattori che hanno prodotto φ(n) elimina una fonte comune di errori di scarto unitario nei correttori di compiti e nei banchi di prova interi.

Come questo calcolatore valuta la somma

Invocare la capacità con un campo intero positivo n. L'implementazione valida prima che n sia un intero nell'intervallo pubblicato da uno a un bilione. Poi fattorizza n per divisione di prova: estrae i fattori di due, poi candidati dispari fino alla radice quadrata e infine ogni cofattore primo residuo.

Da quell'elenco ordinato applica la forma intera esatta del prodotto di Eulero: parte con phi uguale a n e, per ogni primo distinto p che divide n, sostituisce phi con il pavimento di phi diviso p, moltiplicato per p meno uno. Quando n è uno la somma si definisce uno, perché l'unico totativo è uno e la formula a metà darebbe erroneamente un mezzo.

Quando n è maggiore di uno la somma è n moltiplicato per phi e poi diviso per due; per ogni intero n maggiore di uno il prodotto n volte φ(n) è pari, quindi il risultato è sempre un intero esatto senza resto. La risposta include n, sum, phi, l'elenco dei fattori come coppie primo ed esponente, e una breve stringa formula del caso applicato.

Uso pratico, limiti, prezzi e consegna

Usi lo strumento del browser quando desidera subito la somma dei totativi studiando, correggendo un esercizio di teoria dei numeri o confrontando un'enumerazione manuale di coprimi. L'intervallo accettato sono interi da uno a un bilione, che mantiene ogni prodotto intermedio nel territorio degli interi sicuri di JavaScript e copre ancora le dimensioni tipiche di gare, aule e applicazioni. I risultati sono pienamente deterministici: lo stesso n produce sempre la stessa somma, lo stesso phi e lo stesso elenco di fattori.

Non c'è modello linguistico, né servizio esterno di fattorizzazione, né casualità, quindi la capacità è sicura da fissare in test automatici.