Totiente di Jordan J_k(n) dai fattori primi

La funzione totiente di Jordan J_k(n) generalizza la totiente di Eulero contando le k-uple di interi modulo n che generano uno Z-modulo libero di rango k, oppure in modo equivalente con la formula prodotto n^k moltiplicato per il prodotto sui primi p che dividono n di (1 meno p alla meno k). Quando l'ordine k vale uno, J_1(n) recupera esattamente φ(n). Questa calcolatrice accetta un intero positivo n e un ordine positivo k, fattorizza n per divisione di prova deterministica e valuta il prodotto classico di potenze prime così ottiene un intero esatto J_k(n) senza deriva in virgola mobile né servizi esterni. La usi per controlli di esercizi, conteggi di punti di reticolo e pipeline di teoria dei numeri che si affidano all'aritmetica esatta.

Cosa misura la totiente di Jordan e perché conta

La totiente di Eulero φ(n) conta le classi di resto modulo n coprime con n. La funzione di Jordan solleva quel conteggio a rango superiore: J_k(n) è il numero di k-uple di interi in {1, …, n}^k relativamente prime come insieme a n, nel senso che il massimo comun divisore delle k coordinate insieme a n è uno.

In modo equivalente, è l'ordine del gruppo delle matrici invertibili k per k sull'anello degli interi modulo n riducibili a forma elementare, e compare come grado dell'estensione del campo ciclotomico quando si studiano reticoli e valori speciali della zeta di Dedekind. Per una potenza prima p alla a la forma chiusa è p alla k volte (a meno uno) volte (p alla k meno uno), e la moltiplicatività sui fattori coprimi produce il prodotto globale.

Ingegneri e autori di gare incontrano J_k quando contano generatori liberi di moduli, dimensionano gruppi di unità di anelli di matrici su Z/nZ o verificano identità che si riducono a φ quando k è uno. Restituire sia il valore della totiente sia la fattorizzazione che lo ha prodotto elimina una fonte comune di errori di sfasamento nei correttori di esercizi, confronti con CAS e pipeline intere che altrimenti reimplementerebbero la fattorizzazione ad hoc per ogni esercizio.

Come questa calcolatrice valuta J_k(n) dai fattori primi

Invochi la capacità con due campi interi positivi: n e k. L'implementazione fattorizza n per divisione di prova separando i fattori di due, poi candidati dispari fino alla radice quadrata e infine ogni cofattore primo residuo. Da quell'elenco ordinato applica la forma intera esatta del prodotto di Jordan: per ogni potenza prima p alla a che divide n, moltiplica il risultato corrente per p elevato a k volte (a meno uno) volte (p alla k meno uno).

Le potenze sono calcolate con interi a precisione arbitraria così gli intermedi restano esatti; il risultato finale deve stare in un intero sicuro JavaScript affinché i client ricevano un numero semplice. Quando k vale uno, lo stesso percorso riproduce la formula prodotto di Eulero, così J_1(n) coincide con φ(n) per ogni n accettato. La risposta include n, k, jordan, l'elenco dei fattori come coppie primo ed esponente e una breve stringa di formula per la documentazione.

Uso pratico, limiti, prezzo e consegna

Usi lo strumento nel browser quando desidera una risposta immediata studiando la teoria dei numeri moltiplicativa, verificando un'identità da manuale che si specializza nella totiente di Eulero o debuggando un conteggio di punti di reticolo. Gli intervalli accettati sono n da uno a un trilione e k da uno a venti, che coprono dimensioni tipiche di gara, aula e applicazione mantenendo pratica la divisione di prova. I risultati sono deterministici: gli stessi n e k producono sempre lo stesso valore jordan e lo stesso elenco di fattori.

Non c'è modello linguistico, né servizio esterno di fattorizzazione, né casualità, quindi la capacità è sicura da fissare in test automatici.