Totient de Jordan J_k(n) depuis les facteurs premiers

La fonction totient de Jordan J_k(n) généralise le totient d'Euler en comptant les k-uplets d'entiers modulo n qui engendrent un Z-module libre de rang k, ou de façon équivalente par la formule produit n^k multiplié par le produit sur les premiers p divisant n de (1 moins p à la puissance moins k). Lorsque l'ordre k vaut un, J_1(n) retrouve exactement φ(n). Ce calculateur prend un entier positif n et un ordre positif k, factorise n par division d'essai déterministe et évalue le produit classique de puissances premières pour obtenir un entier exact J_k(n) sans dérive en virgule flottante ni services externes. Utilisez-le pour vérifier des exercices, des comptages de points de réseau et des pipelines de théorie des nombres qui font confiance à l'arithmétique exacte.

Ce que mesure le totient de Jordan et pourquoi il compte

Le totient d'Euler φ(n) compte les classes de résidus modulo n premières avec n. La fonction de Jordan élève ce comptage à un rang supérieur : J_k(n) égale le nombre de k-uplets d'entiers dans {1, …, n}^k relativement premiers en ensemble à n, au sens où le plus grand commun diviseur des k coordonnées prises avec n vaut un.

De façon équivalente, c'est l'ordre du groupe des matrices invertibles k par k sur l'anneau des entiers modulo n réductibles à la forme élémentaire, et il apparaît comme le degré de l'extension du corps cyclotomique lorsqu'on étudie les réseaux et les valeurs spéciales de la zêta de Dedekind. Pour une puissance première p à la a, la forme fermée est p à la k fois (a moins un) fois (p à la k moins un), et la multiplicativité sur les facteurs premiers entre eux donne le produit global.

Ingénieurs et auteurs de concours rencontrent J_k lorsqu'ils comptent des générateurs libres de modules, dimensionnent des groupes d'unités d'anneaux de matrices sur Z/nZ, ou vérifient des identités qui se réduisent à φ lorsque k vaut un. Renvoyer à la fois la valeur du totient et la factorisation qui l'a produite supprime une source fréquente d'erreurs de décalage dans les correcteurs d'exercices, les comparaisons avec un CAS et les pipelines entiers qui sinon réimplémenteraient la factorisation au cas par cas.

Comment ce calculateur évalue J_k(n) à partir des facteurs premiers

Appelez la capacité avec deux champs entiers positifs : n et k. L'implémentation factorise n par division d'essai en retirant les facteurs de deux, puis des candidats impairs jusqu'à la racine carrée, et enfin tout cofacteur premier restant. À partir de cette liste ordonnée, elle applique la forme entière exacte du produit de Jordan : pour chaque puissance première p à la a divisant n, multiplie le résultat courant par p élevé à k fois (a moins un) fois (p à la k moins un).

Les puissances sont calculées avec des entiers de précision arbitraire afin que les intermédiaires restent exacts ; le résultat final doit tenir dans un entier sûr JavaScript pour que les clients reçoivent un nombre simple. Lorsque k vaut un, le même chemin reproduit la formule produit d'Euler, de sorte que J_1(n) coïncide avec φ(n) pour tout n accepté. La réponse inclut n, k, jordan, la liste des facteurs sous forme de paires premier et exposant, et une courte chaîne de formule pour la documentation.

Usage pratique, limites, tarification et livraison

Utilisez l'outil navigateur lorsque vous souhaitez une réponse immédiate en étudiant la théorie des nombres multiplicative, en vérifiant une identité de manuel qui se spécialise en totient d'Euler, ou en déboguant un comptage de points de réseau. Les plages acceptées sont n de un à un billion et k de un à vingt, ce qui couvre les tailles typiques de concours, de salle de classe et d'application tout en gardant la division d'essai pratique.

Les résultats sont déterministes : les mêmes n et k produisent toujours la même valeur jordan et la même liste de facteurs. Il n'y a ni modèle de langage, ni service externe de factorisation, ni aléatoire, de sorte que la capacité peut être figée dans des tests automatisés.

Branchez le point de terminaison sur des démonstrations de théorie des nombres, des bacs à sable pédagogiques de cryptographie qui contrastent φ avec des comptages de Jordan d'ordre supérieur, ou des étapes de prétraitement entier où vous faites déjà confiance à l'arithmétique exacte plus qu'aux heuristiques approximatives et où vous avez besoin d'un élément tarifé par paire.